Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
© integral 1x^2-1 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1x^2-1 , dx. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais racionais, onde usamos uma técnica chamada frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a integração. Então, vamos precisar entender como decompor frações e aplicar logaritmos na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração, que é x^2 - 1. Podemos fatorar isso como (x - 1)(x + 1). Então, nossa integral fica assim:
integral 1(x - 1)(x + 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar o método das frações parciais. A ideia é escrever a fração 1(x - 1)(x + 1) como uma soma de duas frações mais simples:
1(x - 1)(x + 1) = Ax - 1 + Bx + 1
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)(x + 1):
1 = A(x + 1) + B(x - 1)
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
1 = (A + B)x + (A - B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equa��ão. No lado esquerdo, temos apenas o termo constante 1, então:
  • Coeficiente de x: A + B = 0
  • Termo constante: A - B = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. A + B = 0 A = -B
  2. Substituindo na segunda equação: -B - B = 1 -2B = 1 B = -12
  3. Então, A = -B = 12

Passo 7

Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
1(x - 1)(x + 1) = 12x - 1 + -12x + 1
Simplificando:
1(x - 1)(x + 1) = 12(1x - 1 - 1x + 1)

Passo 8

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 1x^2-1 , dx = 12 integral (1x - 1 - 1x + 1) , dx
Integrando cada fração:
12 ( ln|x - 1| - ln|x + 1| ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 12 ln|x - 1x + 1| + C.

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