Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais racionais, onde usamos uma técnica chamada frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a integração. Então, vamos precisar entender como decompor frações e aplicar logaritmos na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da fração, que é
. Podemos fatorar isso como
. Então, nossa integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos usar o método das frações parciais. A ideia é escrever a fração
como uma soma de duas frações mais simples:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equa��ão. No lado esquerdo, temos apenas o termo constante 1, então:
- Coeficiente de x:
- Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
→ - Substituindo na segunda equação:
→ → - Então,
Passo 7
Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos integrar termo a termo:
Integrando cada fração:
Onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.