Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(a) integral 2 x(x+3)(3 x+1) d x;

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo integral. Precisamos calcular a integral da função 2x(x+3)(3x+1) em relação a x. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil quando temos uma razão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração 2x(x+3)(3x+1) de forma que possamos separar em duas frações mais simples. Isso é o que a gente faz com as frações parciais.

Passo 3

Assumimos que:
2x(x+3)(3x+1) = Ax+3 + B3x+1
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora (x+3)(3x+1) para eliminar os denominadores:
2x = A(3x + 1) + B(x + 3)

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação:
2x = 3A x + A + B x + 3B
Juntando os termos semelhantes:
2x = (3A + B)x + (A + 3B)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para os termos com x:
3A + B = 2
  • Para os termos constantes:
A + 3B = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A e B. Primeiro, da segunda equação:
A = -3B
Substituindo na primeira equação:
3(-3B) + B = 2 -9B + B = 2 -8B = 2 B = -28 = -14

Passo 8

Agora que temos B, encontramos A:
A = -3B = -3(-14) = 34

Passo 9

Substituindo A e B de volta na expressão das frações parciais:
2x(x+3)(3x+1) = 34x+3 + -143x+1

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2x(x+3)(3x+1) dx = 34 integral 1x+3 dx - 14 integral 13x+1 dx

Passo 11

As integrais ficam:
34 ln|x+3| - 14 cdot 13 ln|3x+1| + C
Simplificando:
34 ln|x+3| - 112 ln|3x+1| + C

Resposta

A integral é igual a 34 ln|x+3| - 112 ln|3x+1| + C, onde C é a constante de integração.

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