Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(a) ;

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo integral. Precisamos calcular a integral da função em relação a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil quando temos uma razão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração de forma que possamos separar em duas frações mais simples. Isso é o que a gente faz com as frações parciais.

Passo 3

Assumimos que:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para os termos com :
  • Para os termos constantes:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que temos , encontramos :

Passo 9

Substituindo e de volta na expressão das frações parciais:

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 11

As integrais ficam:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(e) ;
Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(f) ;
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
© ;
Calcular os seguintes limites: