Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo integral. Precisamos calcular a integral da função
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil quando temos uma razão de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
de forma que possamos separar em duas frações mais simples. Isso é o que a gente faz com as frações parciais.
Passo 3
Assumimos que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir o lado direito da equação:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para os termos com
:
- Para os termos constantes:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Agora que temos
, encontramos
:
Passo 9
Substituindo
e
de volta na expressão das frações parciais:
Passo 10
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 11
As integrais ficam:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(e) ;
(e)
Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(f) ;
(f)
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
© ;
©
Calcular os seguintes limites: