Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(e) integral x-1x^3+x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x = x(x^2 + 1) . Observamos que dá para colocar em evidência:
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração x-1x(x^2 +1) = Ax + Bx + Cx^2 +1 como soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 1 = A(x^2 +1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
x - 1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Expandindo o lado direito:
x - 1 = (A + B) x^2 + C x + A
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • De -1 + B = 0 implies B = 1 , já sabemos que .
  • De , substituindo :
  • Já temos .
Então, , e .

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de x-1x(x^2 +1) = -1x + 1x +1x^2 +1 = -1x + x +1x^2 +1 , e na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x-1x^3+x dx = integral ( -1x + x +1x^2 +1 ) dx
Isso fica:
- integral 1x dx + integral xx^2 +1 dx + integral 1x^2 +1 dx

Passo 9

Vamos integrar cada termo:
  1. : aqui usamos substituição. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica .

Passo 10

Juntando tudo:
- ln|x| + 12 ln|x^2 +1| + arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral - ln|x| + 12 ln|x^2 +1| + arctan(x) + C é igual a:

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