Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(e) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observamos que dá para colocar em evidência:
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • De , já sabemos que .
  • De , substituindo :
  • Já temos .
Então, , e .

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de , e na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Isso fica:

Passo 9

Vamos integrar cada termo:
  1. : aqui usamos substituição. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica .

Passo 10

Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(f) ;
Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(g) .
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(a) ;
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
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