Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observamos que dá para colocar
em evidência:
Então, o denominador fatorado fica
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
- De
, já sabemos que . - De
, substituindo :
- Já temos
.
Então,
,
e
.
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados de
,
e
na expressão das frações parciais:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Isso fica:
Passo 9
Vamos integrar cada termo:
-
-
: aqui usamos substituição. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica . -
Passo 10
Juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(f) ;
(f)
Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(g) .
(g)
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(a) ;
(a)
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
© ;
©