Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde é limitado pelo paraboloide e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelo paraboloide e pelo plano . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas e mudança de coordenadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . O paraboloide abre para cima e o plano corta esse paraboloide. Para facilitar a integração, é legal usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessas coordenadas, o paraboloide fica .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Vemos que varia do paraboloide até o plano, ou seja, de até . O valor de varia desde 0 até o ponto onde o paraboloide encontra o plano, que ocorre quando , ou seja, . E varia de a , completando um círculo completo.
Então, nossos limites são:

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Assim, a integral fica:
Vamos resolver a integral começando por :
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral avaliada é .

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, em que é o cilindro e .
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, onde .
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, onde é o sólido que está entre os cilindros e , acima do plano e abaixo do plano .
Exercício 6. Calcule as integrais
.