Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é limitado pelo paraboloide
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas e mudança de coordenadas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. O paraboloide
abre para cima e o plano
corta esse paraboloide. Para facilitar a integração, é legal usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessas coordenadas, o paraboloide fica
.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração. Vemos que
varia do paraboloide até o plano, ou seja, de
até
. O valor de
varia desde 0 até o ponto onde o paraboloide encontra o plano, que ocorre quando
, ou seja,
. E
varia de
a
, completando um círculo completo.
Então, nossos limites são:
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é
. Assim, a integral fica:
Vamos resolver a integral começando por
:
Agora, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral avaliada é
.
Exercícios relacionados
Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, em que
é o cilindro
e
.
Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, onde
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é o sólido que está entre os cilindros
e
, acima do plano
e abaixo do plano
.
Exercício 6. Calcule as integrais
.