Exercício 4. Calcule as integrais.
integral triplaE z d V, onde E é limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE z , dV, onde a região E é limitada pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 4. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas e mudança de coordenadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região E. O paraboloide z = x^2 + y^2 abre para cima e o plano z = 4 corta esse paraboloide. Para facilitar a integração, é legal usar coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta, e z = z. Nessas coordenadas, o paraboloide fica z = r^2.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Vemos que z varia do paraboloide até o plano, ou seja, de z = r^2 até z = 4. O valor de r varia desde 0 até o ponto onde o paraboloide encontra o plano, que ocorre quando r^2 = 4, ou seja, r = 2. E theta varia de 0 a 2pi, completando um círculo completo.
Então, nossos limites são:
  • 0 <= theta <= 2pi
  • 0 <= r <= 2
  • r^2 <= z <= 4

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV é r , dz , dr , dtheta. Assim, a integral fica:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 z cdot r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral começando por z:
integralr^2^4 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^2^4 = r ( 162 - r^42 ) = 8r - r^52
Agora, integramos em relação a r:
integral0^2 (8r - r^52) dr = 8 [ r^22 ]0^2 - 12 [ r^66 ]0^2 = 8 (2) - 12 ( 646 ) = 16 - 326 = 16 - 163 = 483 - 163 = 323
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 323 , dtheta = 323 cdot 2pi = 64pi3

Resposta

A integral avaliada é dfrac643 pi.

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