Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é o sólido que está entre os cilindros
e
, acima do plano
e abaixo do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla
. O enunciado nos diz que
é o sólido entre os cilindros
e
, acima do plano
e abaixo do plano
. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos:
- O raio
varia entre 1 e 4, porque está entre os cilindros ( ) e ( ). - O ângulo
vai de 0 a , cobrindo toda a volta. - A altura
vai do plano ( ) até o plano . Em coordenadas cilíndricas, , então vai de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então,
.
Passo 4
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, o termo extra
vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os termos:
Distribuindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na integral em
:
Integramos cada termo separadamente:
Então, tudo se resume a:
Resposta
A integral tripla é igual a
.
Exercícios relacionados
Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é limitado pelo paraboloide
e o plano
.
Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, em que
é o cilindro
e
.
Exercício 6. Calcule as integrais
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.