Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde é o sólido que está entre os cilindros e , acima do plano e abaixo do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla . O enunciado nos diz que é o sólido entre os cilindros e , acima do plano e abaixo do plano . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • O raio varia entre 1 e 4, porque está entre os cilindros ( ) e ( ).
  • O ângulo vai de 0 a , cobrindo toda a volta.
  • A altura vai do plano ( ) até o plano . Em coordenadas cilíndricas, , então vai de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, .

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, o termo extra vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os termos:
Distribuindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na integral em :
Integramos cada termo separadamente:
éçãí
Então, tudo se resume a:

Resposta

A integral tripla é igual a .

Exercícios relacionados

Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde é limitado pelo paraboloide e o plano .
Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, em que é o cilindro e .
Exercício 6. Calcule as integrais
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .