Exercício 4. Calcule as integrais.
integral triplaE(x-y) d V, onde E é o sólido que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=16, acima do plano x y e abaixo do plano z=y+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla . O enunciado nos diz que é o sólido entre os cilindros e , acima do plano e abaixo do plano . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que estamos lidando com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • O raio varia entre 1 e 4, porque está entre os cilindros ( ) e ( ).
  • O ângulo vai de 0 a , cobrindo toda a volta.
  • A altura vai do plano ( ) até o plano . Em coordenadas cilíndricas, , então vai de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função x = r costheta e y = r sintheta em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então, .

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaE (x - y) , dV = integral0^2pi integral1^4 integral0^r sintheta + 4 r (costheta - sintheta) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo extra vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^r sintheta + 4 dz = r sintheta + 4 :
integral0^2pi integral1^4 r (costheta - sintheta) cdot r (r sintheta + 4) , dr , dtheta
Substituindo de volta na integral:
integral0^2pi integral1^4 r^2 (costheta - sintheta)(r sintheta + 4) , dr , dtheta
Simplificando os termos:
integral0^2pi integral1^4 [ r^3 sintheta costheta - r^3 sin^2theta + 4 r^2 costheta - 4 r^2 sintheta ] , dr , dtheta
Distribuindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo em relação a integral1^4 r^3 sintheta costheta , dr = sintheta costheta [ r^44 ]1^4 = sintheta costheta ( 2564 - 14 ) = 2554 sintheta costheta :
integral1^4 r^3 sin^2theta , dr = sin^2theta [ r^44 ]1^4 = sin^2theta ( 2564 - 14 ) = 2554 sin^2theta
integral1^4 4 r^2 costheta , dr = 4 costheta [ r^33 ]1^4 = 4 costheta ( 643 - 13 ) = 2523 costheta = 84 costheta
integral1^4 4 r^2 sintheta , dr = 4 sintheta [ r^33 ]1^4 = 4 sintheta ( 643 - 13 ) = 2523 sintheta = 84 sintheta

Passo 7

Substituindo de volta na integral em integral0^2pi ( 2554 sintheta costheta - 2554 sin^2theta + 84 costheta - 84 sintheta ) , dtheta :
2554 integral0^2pi sintheta costheta , dtheta = 0 (porque é uma função ímpar em um intervalo comp<=to)
Integramos cada termo separadamente:
- 2554 integral0^2pi sin^2theta , dtheta = - 2554 cdot pi éçãí
84 integral0^2pi costheta , dtheta = 0
-84 integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
- 2554 pi
Então, tudo se resume a:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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