Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, em que
é o cilindro
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é um cilindro definido por
e
. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas cartesianas, mas por causa da simetria circular do cilindro, é mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas. Vamos precisar saber como converter as coordenadas e ajustar a integral para esse sistema.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, a gente tem:
E a expressão
vira simplesmente
. O elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
. Assim, nossa integral tripla fica:
Passo 3
Vamos resolver integrando primeiro em relação a
:
Passo 4
Agora, integremos em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale
.