Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
integral triplaT(x^2+y^2) d V, em que T é o cilindro x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região , que é um cilindro definido por e . Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas cartesianas, mas por causa da simetria circular do cilindro, é mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas. Vamos precisar saber como converter as coordenadas e ajustar a integral para esse sistema.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a gente tem:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E a expressão integral triplaT (x^2 + y^2) dV = integral0^4 integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta , dz vira simplesmente . O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Assim, nossa integral tripla fica:

Passo 3

Vamos resolver integrando primeiro em relação a integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14 :

Passo 4

Agora, integremos em relação a integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2 :

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^4 pi2 , dz = pi2 cdot 4 = 2pi :

Resposta

A integral tripla vale .

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