Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
integral triplaE y d V, onde E=(x, y, z) ; 0 <= x <= 3,0 <= y <= x, x-y <= z <= x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. O que temos aqui é a integral tripla de sobre a região , definida por , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais triplas, que são usadas para encontrar volumes ou outras quantidades em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida a região integral triplaE y , dV = integralx=0^3 integraly=0^x integralz=x - y^x + y y , dz , dy , dx . Temos três variáveis: , e , cada uma com seus próprios limites:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de 0 até o próprio .
  • Para cada par de e , varia de até .
Isso nos dá os limites de integração para cada variável. Vamos organizar esses limites para montar a integral tripla:

Passo 3

Agora, vamos começar a resolver a integral, começando pela variável integralz=x - y^x + y y , dz . A integral em relação a y cdot [z]x - y^x + y = y cdot ( (x + y) - (x - y) ) = y cdot (2y) = 2y^2 é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, essa integral fica:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado acima de volta na integral e seguimos para integrar em relação a integralx=0^3 integraly=0^x 2y^2 , dy , dx :
integraly=0^x 2y^2 , dy = 2 cdot y^33 |0^x = 2x^33
Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 5

Finalmente, substituímos esse resultado na última integral e integramos em relação a integralx=0^3 2x^33 , dx = 23 cdot integral0^3 x^3 , dx = 23 cdot x^44 |0^3 = 23 cdot 814 = 16212 = 13.5 :

Resposta

A integral tripla vale 13,5.

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