Exercício 2. Calcule as integrais triplas.
, onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. O que temos aqui é a integral tripla de sobre a região , definida por , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais triplas, que são usadas para encontrar volumes ou outras quantidades em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida a região . Temos três variáveis: , e , cada uma com seus próprios limites:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de 0 até o próprio .
  • Para cada par de e , varia de até .
Isso nos dá os limites de integração para cada variável. Vamos organizar esses limites para montar a integral tripla:

Passo 3

Agora, vamos começar a resolver a integral, começando pela variável . A integral em relação a é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, essa integral fica:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado acima de volta na integral e seguimos para integrar em relação a :
Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 5

Finalmente, substituímos esse resultado na última integral e integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla vale 13,5.

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, em que é o cilindro e .
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, onde é limitado pelo paraboloide e o plano .