Exercício 2. Calcule as integrais triplas. , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. O que temos aqui é a integral tripla de sobre a região , definida por , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais triplas, que são usadas para encontrar volumes ou outras quantidades em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está definida a região . Temos três variáveis: , e , cada uma com seus próprios limites:
varia de 0 a 3.
Para cada , varia de 0 até o próprio .
Para cada par de e , varia de até .
Isso nos dá os limites de integração para cada variável. Vamos organizar esses limites para montar a integral tripla:
Passo 3
Agora, vamos começar a resolver a integral, começando pela variável . A integral em relação a é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, essa integral fica:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado acima de volta na integral e seguimos para integrar em relação a :
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 5
Finalmente, substituímos esse resultado na última integral e integramos em relação a :