Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar entender de frações parciais e realizar algumas operações algébricas básicas, como divisão de polinômios e fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o grau do numerador ( ) é maior que o grau do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão de polinômios antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Faremos isso assim:
Dividendo:
Divisor:
Primeiro termo:
Multiplicamos o divisor por :
Subtraímos isso do dividendo:
Agora, temos resto , mas o grau ainda é igual ao do divisor, então continuamos:

Multiplicamos o divisor por :
Subtraímos isso:
Então, nossa divisão fica:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a fração original usando a divisão que fizemos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos focar na fração . Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, nossa fração fica:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que encontramos e , podemos escrever a decomposição:

Passo 8

Voltando à integral original:
Vamos integrar cada parte:
Agrupando tudo e juntando as constantes:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Reduza à forma cada uma das expressões .
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Reduza à forma cada uma das expressões .
Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) ;