Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
integral x^3-2 x^2+1x^2-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de x^3 - 2x^2 + 1x^2 - 3x em relação a x. Para isso, vamos precisar entender de frações parciais e realizar algumas operações algébricas básicas, como divisão de polinômios e fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o grau do numerador ( x^3) é maior que o grau do denominador ( x^2). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão de polinômios antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir x^3 - 2x^2 + 1 por x^2 - 3x. Faremos isso assim:
Dividendo: x^3 - 2x^2 + 0x + 1
Divisor: x^2 - 3x
Primeiro termo: x^3x^2 = x
Multiplicamos o divisor por x: x(x^2 - 3x) = x^3 - 3x^2
Subtraímos isso do dividendo:
(x^3 - 2x^2 + 0x + 1) - (x^3 - 3x^2) = x^3 - 2x^2 - x^3 + 3x^2 = x^2
Agora, temos resto x^2 + 0x + 1, mas o grau ainda é igual ao do divisor, então continuamos:
x^2x^2 = 1
Multiplicamos o divisor por 1: 1(x^2 - 3x) = x^2 - 3x
Subtraímos isso:
(x^2 + 0x + 1) - (x^2 - 3x) = x^2 - x^2 + 0x + 3x + 1 = 3x + 1
Então, nossa divisão fica:
x^3 - 2x^2 + 1 = (x + 1)(x^2 - 3x) + (3x + 1)

Passo 4

Agora, podemos reescrever a fração original usando a divisão que fizemos:
x^3 - 2x^2 + 1x^2 - 3x = x + 1 + 3x + 1x^2 - 3x
Então, a integral fica:
integral x^3 - 2x^2 + 1x^2 - 3x dx = integral (x + 1) dx + integral 3x + 1x^2 - 3x dx

Passo 5

Vamos focar na fração 3x + 1x^2 - 3x. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
x^2 - 3x = x(x - 3)
Então, nossa fração fica:
3x + 1x(x - 3)
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
3x + 1x(x - 3) = Ax + Bx - 3

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por x(x - 3) para eliminar os denominadores:
3x + 1 = A(x - 3) + Bx
Expandindo:
3x + 1 = Ax - 3A + Bx
Agrupando os termos semelhantes:
3x + 1 = (A + B)x - 3A
Agora, igualamos os coeficientes:
Para x: A + B = 3
Para o termo constante: -3A = 1
Resolvendo a segunda equação:
-3A = 1 Rightarrow A = -13
Substituindo A na primeira equação:
-13 + B = 3 Rightarrow B = 3 + 13 = 103

Passo 7

Agora que encontramos A e B, podemos escrever a decomposição:
3x + 1x(x - 3) = -13x + 103x - 3 = -13cdot1x + 103cdot1x - 3

Passo 8

Voltando à integral original:
integral (x + 1) dx + integral ( -13cdot1x + 103cdot1x - 3 ) dx
Vamos integrar cada parte:
integral (x + 1) dx = 12x^2 + x + C1
integral -13cdot1x dx = -13 ln|x| + C2
integral 103cdot1x - 3 dx = 103 ln|x - 3| + C3
Agrupando tudo e juntando as constantes:
12x^2 + x - 13 ln|x| + 103 ln|x - 3| + C

Resposta

A integral é igual a 12x^2 + x - 13 ln|x| + 103 ln|x - 3| + C, onde C é a constante de integração.

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