Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos precisar entender de frações parciais e realizar algumas operações algébricas básicas, como divisão de polinômios e fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão de polinômios antes de aplicar as frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Faremos isso assim:
Dividendo:
Divisor:
Divisor:
Primeiro termo:
Multiplicamos o divisor por :
Subtraímos isso do dividendo:
Multiplicamos o divisor por
Subtraímos isso do dividendo:
Agora, temos resto
, mas o grau ainda é igual ao do divisor, então continuamos:
Multiplicamos o divisor por
Subtraímos isso:
Então, nossa divisão fica:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a fração original usando a divisão que fizemos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos focar na fração
. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, nossa fração fica:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Para o termo constante:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a decomposição:
Passo 8
Voltando à integral original:
Vamos integrar cada parte:
Agrupando tudo e juntando as constantes:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Reduza à forma
cada uma das expressões
.
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Reduza à forma
cada uma das expressões
.
Exercício 2. Calcule as integrais:
(e) ;
(e)