Psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P(t), que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
dP/dt = k(M - P)
onde M e k são constantes positiva. A constante P0 = P(0) <= M representa o conhecimento inicial do indivíduo. Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando t -> infinito? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes k e M representam.

Passo 1

Então, galera, a gente tá com um problema sobre curvas de aprendizado. A ideia é entender como o conhecimento de alguém evolui com o tempo de treinamento . A gente tem uma equação diferencial que descreve isso:
onde e são constantes positivas, e é o conhecimento inicial. A pergunta é: qual é o limite de quando vai para o infinito? Além disso, queremos interpretar o que as constantes e representam.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método do fator integrante.
A equação é:
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.
Dividindo por , temos:

Passo 3

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Então, a solução geral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito, então:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .
Interpretação: A constante representa o conhecimento máximo que o indivíduo pode alcançar com o treinamento. Já a constante indica a taxa com que o conhecimento se aproxima desse valor máximo. Ou seja, quanto maior o , mais rápido a pessoa atinge o nível de conhecimento .

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