Psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função
, que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento
. Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
onde
e k são constantes positiva. A constante
representa o conhecimento inicial do indivíduo. Qual é o limite da expressão encontrada em b) quando
? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes k e
representam.
Passo 1
Então, galera, a gente tá com um problema sobre curvas de aprendizado. A ideia é entender como o conhecimento
de alguém evolui com o tempo de treinamento
. A gente tem uma equação diferencial que descreve isso:
onde
e
são constantes positivas, e
é o conhecimento inicial. A pergunta é: qual é o limite de
quando
vai para o infinito? Além disso, queremos interpretar o que as constantes
e
representam.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método do fator integrante.
A equação é:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Dividindo por
, temos:
Passo 3
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Então, a solução geral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
vai para o infinito, então:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.
Interpretação: A constante
representa o conhecimento máximo que o indivíduo pode alcançar com o treinamento. Já a constante
indica a taxa com que o conhecimento se aproxima desse valor máximo. Ou seja, quanto maior o
, mais rápido a pessoa atinge o nível de conhecimento
.