Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) é o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é um triângulo com vértices em , e , e a orientação é positiva (sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha sobre curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui, e são funções de e , e é a região dentro de .

Passo 3

No nosso exercício, temos:
Precisamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices , e . Para isso, precisamos determinar os limites de integração.
Observando o triângulo, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até . Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, em relação a :
Calculando cada parte:
Portanto, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a :
Calculando cada parte:
Somando os resultados:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados


é a região entre e

é o triângulo de vértices
Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas e , orientada no sentido horário.
Faça a mudança de variáveis e para calcular
sendo a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas e .