Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) integralC x y d x+x^3 y^3 d y, C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva é um triângulo com vértices em , e , e a orientação é positiva (sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha sobre curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, e são funções de e , e é a região dentro de .

Passo 3

No nosso exercício, temos:
P = x y e Q = x^3 y^3
Precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 y^3) = 3x^2 y^3
partial Ppartial y = partialpartial y (x y) = x
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 y^3 - x

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla sobre a região integral duplaD (3x^2 y^3 - x) , dA = integral0^1 integral0^2x (3x^2 y^3 - x) , dy , dx , que é o triângulo com vértices , e . Para isso, precisamos determinar os limites de integração.
Observando o triângulo, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até . Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, em relação a integral0^2x (3x^2 y^3 - x) , dy = 3x^2 integral0^2x y^3 , dy - x integral0^2x dy :
3x^2 [ y^44 ]0^2x = 3x^2 ( (2x)^44 ) = 3x^2 ( 16x^44 ) = 3x^2 cdot 4x^4 = 12x^6
Calculando cada parte:
-x [ y ]0^2x = -x (2x - 0) = -2x^2
12x^6 - 2x^2
Portanto, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 (12x^6 - 2x^2) , dx = 12 integral0^1 x^6 , dx - 2 integral0^1 x^2 , dx :
12 [ x^77 ]0^1 = 12 ( 17 - 0 ) = 127
Calculando cada parte:
-2 [ x^33 ]0^1 = -2 ( 13 - 0 ) = -23
127 - 23 = 3621 - 1421 = 2221
Somando os resultados:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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