Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b)
é o triângulo de vértices
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva
é um triângulo com vértices em
,
e
, e a orientação é positiva (sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha sobre curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui,
e
são funções de
e
, e
é a região dentro de
.
Passo 3
No nosso exercício, temos:
Precisamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices
,
e
. Para isso, precisamos determinar os limites de integração.
Observando o triângulo, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, em relação a
:
Calculando cada parte:
Portanto, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando os resultados:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas
e
, orientada no sentido horário.
(a)
Faça a mudança de variáveis
e
para calcular
sendo
a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas
e
.