integral duplaD x d A
D é o triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Isso envolve entender integrais duplas e como definir os limites de integração para uma área triangular. Vou te guiar passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é um triângulo no plano com vértices em , e . Pra facilitar, imagina um gráfico onde esses pontos estão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Vamos ligar os pontos:
  1. De a : a inclinação é . Então, a equação é .
  2. De a : a inclinação é . A equação dessa reta é .
  3. De a : essa é a base do triângulo, e a equação é simplesmente .

Passo 4

Com as equações das retas, vamos definir os limites de integração para e . Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de entre 0 e 1, vai de 0 até .
  • Para entre 1 e 2, vai de 0 até .
Isso significa que a integral dupla vai ser dividida em duas partes.

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla dividindo em duas integrais:
integral duplaD x , dA = integral0^1 ( integral0^x x , dy ) dx + integral1^2 ( integral0^-x + 2 x , dy ) dx
Aqui, é o elemento de área, que para integrais duplas é ou .

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 ( integral0^x x , dy ) dx
Dentro dessa, a integral interna é em relação a integral0^x x , dy = x cdot y |0^x = x cdot x - x cdot 0 = x^2 , então tratamos integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13 - 0 = 13 como constante:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral1^2 ( integral0^-x + 2 x , dy ) dx
Novamente, a integral interna é em relação a integral0^-x + 2 x , dy = x cdot y |0^-x + 2 = x(-x + 2) - x cdot 0 = -x^2 + 2x :
integral1^2 (-x^2 + 2x) , dx = ( -x^33 + x^2 ) |1^2
Então, a integral fica:
( -83 + 4 ) - ( -13 + 1 ) = ( 43 ) - ( 23 ) = 23
Calculando:

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
13 + 23 = 1

Resposta

A integral dupla é igual a .

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