Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Isso envolve entender integrais duplas e como definir os limites de integração para uma área triangular. Vou te guiar passo a passo para deixar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é um triângulo no plano com vértices em , e . Pra facilitar, imagina um gráfico onde esses pontos estão.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Vamos ligar os pontos:
De a : a inclinação é . Então, a equação é .
De a : a inclinação é . A equação dessa reta é .
De a : essa é a base do triângulo, e a equação é simplesmente .
Passo 4
Com as equações das retas, vamos definir os limites de integração para e . Observando o triângulo:
varia de 0 a 2.
Para cada valor de entre 0 e 1, vai de 0 até .
Para entre 1 e 2, vai de 0 até .
Isso significa que a integral dupla vai ser dividida em duas partes.
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla dividindo em duas integrais:
Aqui, é o elemento de área, que para integrais duplas é ou .
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Dentro dessa, a integral interna é em relação a , então tratamos como constante:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Novamente, a integral interna é em relação a :
Então, a integral fica:
Calculando:
Passo 8
Finalmente, somamos os resultados das duas integrais: