Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) integralC -y d x+x d yx^2+y^2, C é a curva fronteira de região determinada pelas curvas y^2=2(x+2) e x=2, orientada no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
ointC -y , dx + x , dyx^2 + y^2
Aqui, é a curva que delimita a região entre as curvas e , orientada no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula geral é:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) = -(x^2 + y^2) + y(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2 + x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 = 0 :

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Então, pela formulação inicial pelo Teorema de Green, a integral de linha também seria zero. Mas atenção! Temos uma singularidade no ponto porque o denominador zera. Precisamos verificar se o ponto está dentro da região .

Passo 6

Vamos analisar as curvas que delimitam . A parábola abre para a direita com vértice em e corta o eixo em quando . A reta é vertical. A região está entre e , e inclui o ponto , onde temos a singularidade.

Passo 7

Como a singularidade est�� dentro da região , não podemos aplicar o Teorema de Green diretamente. Nesse caso, a integral ao redor da curva que envolve a singularidade é igual a devido à orientação no sentido horário.

Resposta

-2pi

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