Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas e , orientada no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Aqui, é a curva que delimita a região entre as curvas e , orientada no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula geral é:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
Então, pela formulação inicial pelo Teorema de Green, a integral de linha também seria zero. Mas atenção! Temos uma singularidade no ponto porque o denominador zera. Precisamos verificar se o ponto está dentro da região .

Passo 6

Vamos analisar as curvas que delimitam . A parábola abre para a direita com vértice em e corta o eixo em quando . A reta é vertical. A região está entre e , e inclui o ponto , onde temos a singularidade.

Passo 7

Como a singularidade est�� dentro da região , não podemos aplicar o Teorema de Green diretamente. Nesse caso, a integral ao redor da curva que envolve a singularidade é igual a devido à orientação no sentido horário.

Resposta

Exercícios relacionados

Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) é o triângulo de vértices e .

é a região entre e
Faça a mudança de variáveis e para calcular
sendo a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas e .
Inverta a ordem de integração em