Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a)
é a curva fronteira de região determinada pelas curvas
e
, orientada no sentido horário.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Aqui,
é a curva que delimita a região entre as curvas
e
, orientada no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula geral é:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Então, pela formulação inicial pelo Teorema de Green, a integral de linha também seria zero. Mas atenção! Temos uma singularidade no ponto
porque o denominador
zera. Precisamos verificar se o ponto está dentro da região
.
Passo 6
Vamos analisar as curvas que delimitam
. A parábola
abre para a direita com vértice em
e corta o eixo
em
quando
. A reta
é vertical. A região
está entre
e
, e inclui o ponto
, onde temos a singularidade.
Passo 7
Como a singularidade est�� dentro da região
, não podemos aplicar o Teorema de Green diretamente. Nesse caso, a integral ao redor da curva
que envolve a singularidade é igual a
devido à orientação no sentido horário.
Resposta
Exercícios relacionados
Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) é o triângulo de vértices
e
.
(b)
Faça a mudança de variáveis
e
para calcular
sendo
a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas
e
.
Inverta a ordem de integração em