é a região entre
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região entre as curvas
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente Integrais Duplas. Para resolver, a gente vai precisar entender como definir a região de integração e configurar os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas
(uma reta) e
(uma parábola). Para entender melhor a região
, precisamos encontrar onde elas se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual curva está por cima e qual está por baixo no intervalo
. Para isso, escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em
e depois em
. Os limites para
vão de
(parte de baixo) até
(parte de cima), e para
, de 0 a 1. Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Integrando termo a termo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) é o triângulo de vértices
e
.
(b)
Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas
e
, orientada no sentido horário.
(a)