integral duplaD y d A
D é a região entre y=x e y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde é a região entre as curvas e . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente Integrais Duplas. Para resolver, a gente vai precisar entender como definir a região de integração e configurar os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas x = x^2 implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 (uma reta) e (uma parábola). Para entender melhor a região , precisamos encontrar onde elas se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual curva está por cima e qual está por baixo no intervalo y = 0,5 e y = (0,5)^2 = 0,25 . Para isso, escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em integral0^1 integralx^2^x y , dy , dx e depois em . Os limites para vão de (parte de baixo) até (parte de cima), e para , de 0 a 1. Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integralx^2^x y , dy = [ y^22 ]x^2^x = x^22 - (x^2)^22 = x^22 - x^42 :
integral0^1 ( x^22 - x^42 ) dx = 12 integral0^1 (x^2 - x^4) , dx
Agora, substituímos isso na integral externa:
12 ( [ x^33 ]0^1 - [ x^55 ]0^1 ) = 12 ( 13 - 15 ) = 12 ( 5 - 315 ) = 12 cdot 215 = 115
Integrando termo a termo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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