é a região entre e

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde é a região entre as curvas e . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente Integrais Duplas. Para resolver, a gente vai precisar entender como definir a região de integração e configurar os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas (uma reta) e (uma parábola). Para entender melhor a região , precisamos encontrar onde elas se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual curva está por cima e qual está por baixo no intervalo . Para isso, escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em e depois em . Os limites para vão de (parte de baixo) até (parte de cima), e para , de 0 a 1. Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:
Integrando termo a termo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados


é o triângulo de vértices
Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) é o triângulo de vértices e .
Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas e , orientada no sentido horário.