Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(b) f(x)=(1+4 x)^(5)(3+x-x^(2))^(2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a primeira derivada da função . Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para derivar funções que são produtos e potências de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto, que diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dela é . Aqui, nossa é e é .

Passo 3

Agora, vamos derivar usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. A derivada de é .
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos derivar também usando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Com as derivadas de e encontradas, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 6

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Resposta

A primeira derivada da função é:

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