Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(g) ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A função que queremos derivar é . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo da derivada de funções que são frações envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que , então podemos escrever:
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra do quociente de forma mais clara.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  1. Derivada de :
    Aqui usamos a regra da cadeia. Sabemos que , então:
  2. Derivada de :
    A derivada de é:

Passo 5

Substituindo , , e na regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada fica:

Passo 7

Podemos fatorar no numerador:
E lembrando que , temos:
Então, substituindo:

Passo 8

Podemos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Onde .

Resposta

A primeira derivada da função é:

Exercícios relacionados

Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(b) ;
Exercício 2. Calcule a derivada das seguintes funções:
(b) ;
Exercício 4. Encontre das seguintes expressões:
(d) .
Exercício 5. Mostre que
(e) ;