Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(g)
;
(g)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A função que queremos derivar é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo da derivada de funções que são frações envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que
, então podemos escrever:
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra do quociente de forma mais clara.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra da cadeia. Sabemos que, então: -
Derivada de
: A derivada deé:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 6
Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada fica:
Passo 7
Podemos fatorar
no numerador:
E lembrando que
, temos:
Então, substituindo:
Passo 8
Podemos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Onde
.
Resposta
A primeira derivada da função é:
Exercícios relacionados
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(b) ;
(b)
Exercício 2. Calcule a derivada das seguintes funções:
(b) ;
(b)
Exercício 4. Encontre
das seguintes expressões:
(d) .
(d)
Exercício 5. Mostre que
(e) ;
(e)