Exercício 4. Encontre y'(x) das seguintes expressões:
(d) sen(x) sen(y) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para a gente encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita, que é quando a variável dependente ( y) está misturada com a independente ( x) na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a regra da derivada do produto no lado esquerdo, já que temos . A derivada de uma constante (no lado direito, que é 1) é zero.

Passo 3

Aplicando a regra do produto, temos:

Passo 4

Agora, precisamos derivar com relação a x. Como y é uma função de x, usamos a regra da cadeia:
E também sabemos que:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação anterior:

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos os termos com :

Passo 7

Finalmente, dividimos ambos os lados por para encontrar :

Resposta

A derivada é:

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