Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a primeira derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções compostas envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecimentos básicos de derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função . Temos uma função exponencial onde o expoente é a expressão . Para derivar isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando você tem uma função dentro de outra função.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é , onde é a função dentro do expoente. No nosso caso, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de . Para isso, vamos usar a regra do produto, que é usada quando você tem duas funções multiplicando uma à outra. A regra do produto diz que a derivada de é .

Passo 5

Aplicando a regra do produto a :
  • Derivada de em relação a é 1.
  • Derivada de em relação a é .
Então,

Passo 6

Agora que temos , voltamos à regra da cadeia para encontrar a derivada de :

Resposta

A primeira derivada da função é:

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