Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(i)
;
(i)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Precisamos calcular a primeira derivada da função
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.
Passo 2
A função
é uma função composta. Isso significa que temos uma função dentro de outra função. Aqui, a parte interna é
e a parte externa é essa expressão elevada ao cubo. A regra da cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas de forma sistemática.
Passo 3
Segundo a regra da cadeia, a derivada da função externa em relação à função interna multiplicada pela derivada da função interna em relação a
. Vamos identificar cada parte:
- Função externa:
, onde - Função interna:
Primeiro, derivamos a função externa em relação a
:
Passo 4
Agora, derivamos a função interna
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da derivada da função composta (
) que envolve a derivada do cosseno.
Passo 5
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A primeira derivada da função é: