Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(i) f(x) = (1 + cos^2(x))^3;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Precisamos calcular a primeira derivada da função . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

A função é uma função composta. Isso significa que temos uma função dentro de outra função. Aqui, a parte interna é e a parte externa é essa expressão elevada ao cubo. A regra da cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas de forma sistemática.

Passo 3

Segundo a regra da cadeia, a derivada da função externa em relação à função interna multiplicada pela derivada da função interna em relação a . Vamos identificar cada parte:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Primeiro, derivamos a função externa em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos a função interna em relação a :
Aqui, usamos a regra da derivada da função composta ( ) que envolve a derivada do cosseno.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A primeira derivada da função é:

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