Exercício 5. Mostre que
(e) ;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função arcsec(x), ou seja, , é igual a . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação de funções compostas e entender a definição da função arcsec(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arcsec(x) é a função inversa do secante. Ou seja, se , então . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , representada por .

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Aplicando a regra da cadeia na derivada da função composta, temos:
Isso resulta em:

Passo 4

Queremos isolar para encontrar a derivada que buscamos. Para isso, rearranjamos a equação:

Passo 5

Agora, precisamos expressar e em termos de . Sabemos que , então . Além disso, usando a identidade trigonométrica , substituímos por :

Passo 6

Substituímos e na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, a derivada da função arcsec(x) é:

Exercícios relacionados

Exercício 4. Encontre das seguintes expressões:
(d) .
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(g) ;
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(f) ;
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(k) .