Exercício 5. Mostre que
(e) arcsec'(x) = 1 / (x * raiz(1 + x^2));

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função arcsec(x), ou seja, , é igual a . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação de funções compostas e entender a definição da função arcsec(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arcsec(x) é a função inversa do secante. Ou seja, se , então . Nosso objetivo é encontrar a derivada de y em relação a x, representada por .

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Aplicando a regra da cadeia na derivada da função composta, temos:
Isso resulta em:

Passo 4

Queremos isolar para encontrar a derivada que buscamos. Para isso, rearranjamos a equação:

Passo 5

Agora, precisamos expressar e em termos de x. Sabemos que , então . Além disso, usando a identidade trigonométrica , substituímos por x:

Passo 6

Substituímos e na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, a derivada da função arcsec(x) é:

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