Exercício 5. Mostre que
(e)
;
(e)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função arcsec(x), ou seja,
, é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação de funções compostas e entender a definição da função arcsec(x).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função arcsec(x) é a função inversa do secante. Ou seja, se
, então
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, representada por
.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia na derivada da função composta, temos:
Isso resulta em:
Passo 4
Queremos isolar
para encontrar a derivada que buscamos. Para isso, rearranjamos a equação:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Sabemos que
, então
. Além disso, usando a identidade trigonométrica
, substituímos
por
:
Passo 6
Substituímos
e
na expressão da derivada:
Resposta
Portanto, a derivada da função arcsec(x) é:
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Exercício 4. Encontre
das seguintes expressões:
(d) .
(d)
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(g) ;
(g)
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(f) ;
(f)
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(k) .
(k)