Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(k) .

Passo 1

Beleza, temos que calcular a primeira derivada da função . Isso faz parte do estudo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, já que a função é composta por outras funções (como a raiz quadrada dentro de outra raiz).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Lembrando que é o mesmo que , então podemos escrever:
Isso nos ajuda a visualizar melhor as camadas da função para aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra serve para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Se temos e , então a derivada de será:
Aqui, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Primeiro, observamos que é o mesmo que .
Então, temos:
Agora, podemos simplificar um pouco mais multiplicando os termos:

Resposta

A primeira derivada da função é:

Exercícios relacionados

Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(f) ;
Exercício 5. Mostre que
(e) ;
Exercício 5. Mostre que
(f) ;
Exercício 1. Calcule a primeira derivada das funções abaixo.
(b)