Exercício 5. Mostre que
(f) arccossec'(x) = -1 / (x * raiz(1 + x^2));

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções inversas e entender como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembremos que é a função inversa de . Ou seja, se , então . Nossa meta é encontrar .

Passo 3

Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a . Isso nos dá:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a . Aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que:

Passo 5

Substituímos essa expressão na equação anterior:
Queremos isolar , então dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Agora, precisamos expressar e em termos de , já que . Sabemos que . Substituindo x por :

Passo 7

Substituindo e na expressão para :

Passo 8

No entanto, queremos a expressão em termos de . Observando que , podemos reescrever a expressão como:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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