Exercício 5. Mostre que
(f)
;
(f)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções inversas e entender como aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembremos que
é a função inversa de . Ou seja, se
, então . Nossa meta é encontrar
.
Passo 3
Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Isso nos dá:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a
. Aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Passo 5
Substituímos essa expressão na equação anterior:
Queremos isolar
, então dividimos ambos os lados por :
Passo 6
Agora, precisamos expressar e
em termos de
, já que . Sabemos que . Substituindo
por :
Passo 7
Substituindo e
na expressão para
:
Passo 8
No entanto, queremos a expressão em termos de
. Observando que
, podemos reescrever a expressão como:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(k) .
(k)
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(f) ;
(f)
Exercício 1. Calcule a primeira derivada das funções abaixo.
(b)
(b)
Exercício 1. Calcule a primeira derivada das funções abaixo.
(d) ;
(d)