EXERCÍCIO 2 Uma concha esférica centrada na origem se estende entre R=2 e R=3 cm. Se a densidade volumétrica de carga é dada por rhov=3 R times 10^-4(C^3 ^3), determine a carga total contida na concha.
Resp. Q=0,61(nC).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma concha esférica centrada na origem que vai de cm até cm. A densidade volumétrica de carga é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga total que está nessa concha. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de carga em distribuição de volumes, especialmente em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a carga total Q = integral rhov , dV em uma distribuição contínua. A carga total é obtida integrando a densidade volumétrica de carga sobre todo o volume da concha. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é o elemento de volume. Como estamos lidando com uma concha esférica, é mais fácil usar coordenadas esféricas para fazer essa integração.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV = 4pi R^2 , dR é dado por:
Q = integral2^3 3R times 10^-4 times 4pi R^2 , dR
Isso porque estamos integrando em relação ao raio , e a área de uma esfera de raio é . Agora, vamos substituir e na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Q = 12pi times 10^-4 integral2^3 R^3 , dR
Agora, precisamos calcular a integral de de 2 a 3 cm.

Passo 5

Integrando integral R^3 , dR = R^44 em relação a 3^44 - 2^44 = 814 - 164 = 654 :
Avaliado de 2 cm a 3 cm:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para Q = 12pi times 10^-4 times 654 = 12pi times 10^-4 times 16.25 = 195pi times 10^-4 , C :

Passo 7

Calculando o valor numérico:
Q approx 195 times 3.1416 times 10^-4 approx 612 times 10^-4 , C = 0.0612 , C
Mas, na verdade, a densidade estava em e os raios em centímetros, então precisamos ajustar as unidades.

Passo 8

Convertendo centímetros para metros:
R = 2 , cm = 0.02 , m e R = 3 , cm = 0.03 , m
E a densidade volumétrica:
rhov = 3R times 10^-4 , C/m^3
Refazendo os cálculos com as unidades corretas nos dá uma carga total de aproximadamente .

Resposta

A carga total contida na concha é .

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