EXERCÍCIO 2 Uma concha esférica centrada na origem se estende entre
. Se a densidade volumétrica de carga é dada por
, determine a carga total contida na concha.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma concha esférica centrada na origem que vai de
cm até
cm. A densidade volumétrica de carga é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga total
que está nessa concha. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de carga em distribuição de volumes, especialmente em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a carga total
em uma distribuição contínua. A carga total é obtida integrando a densidade volumétrica de carga
sobre todo o volume da concha. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é o elemento de volume. Como estamos lidando com uma concha esférica, é mais fácil usar coordenadas esféricas para fazer essa integração.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Isso porque estamos integrando em relação ao raio
, e a área de uma esfera de raio
é
. Agora, vamos substituir
e
na integral:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agora, precisamos calcular a integral de
de 2 a 3 cm.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Avaliado de 2 cm a 3 cm:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 7
Calculando o valor numérico:
Mas, na verdade, a densidade estava em
e os raios em centímetros, então precisamos ajustar as unidades.
Passo 8
Convertendo centímetros para metros:
E a densidade volumétrica:
Refazendo os cálculos com as unidades corretas nos dá uma carga total de aproximadamente
.
Resposta
A carga total contida na concha é
.