EXERCÍCIO 3 Quatro cargas de 10 mu C cada uma são colocadas no espaço livre em (-3,0,0), (3,0,0),(0,-3,0) e (0,3,0) em um sistema de coordenadas cartesianas. Determine a força sobre uma carga 20 mu C colocada em (0,0,4). Todas as distâncias estão em metros.
Resp. F=z 0,23(N).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a força que age sobre uma carga de 20 mu C situada no ponto (0,0,4), causada por quatro cargas de 10 mu C posicionadas nos pontos (-3,0,0), (3,0,0), (0,-3,0) e (0,3,0). Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força elétrica entre duas cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb. Ela diz que a força elétrica F entre duas cargas q1 e q2, separadas por uma distância r, é dada por:
F = ke |q1 q2|r^2
Aqui, ke = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2 é a constante eletrostática.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre a carga de 20 mu C no ponto (0,0,4) e cada uma das quatro cargas de 10 mu C.
Pegando, por exemplo, a carga em (-3,0,0):
r = raiz(0 - (-3))^2 + (0 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = raiz3^2 + 0^2 + 4^2 = raiz9 + 0 + 16 = raiz25 = 5 , metros
Como as quatro cargas estão distribuídas simetricamente, a distância até cada uma delas será sempre 5 metros.

Passo 4

Vamos calcular a força exercida por uma dessas cargas de 10 mu C sobre a carga de 20 mu C usando a Lei de Coulomb:
F = ke (10 times 10^-6 , C)(20 times 10^-6 , C)5^2 = 8,99 times 10^9 times 200 times 10^-1225
Simplificando:
F = 8,99 times 10^9 times 8 times 10^-12 = 71,92 times 10^-3 , N approx 0,072 , N
Então, cada uma das quatro forças individuais tem uma magnitude de aproximadamente 0,072 , N.

Passo 5

Agora, vamos analisar a direção dessas forças. As forças vindas das cargas localizadas nos eixos X e Y vão se anular devido à simetria do sistema. Isso porque elas estão em posições opostas e, portanto, suas componentes horizontais se cancelam.
Só sobra a componente vertical (na direção Z) de cada força. Para encontrar essa componente, usamos trigonometria. Sabemos que a distância vertical é 4 metros e a distância total é 5 metros, então o ângulo theta tem:
cos(theta) = 45
Portanto, a componente Z de cada força é:
Fz = F cdot cos(theta) = 0,072 , N times 45 = 0,0576 , N
Como são quatro cargas, a força total na direção Z é:
Ftotal = 4 times 0,0576 , N = 0,2304 , N

Resposta

F = z , 0,23 , N

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