Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos A, B ⊆ R,
A + B = {a + b: a ∈ A, b ∈ B} e A . B = {a . b: a ∈ A, b ∈ B}
  1. Mostre que, para qualquer conjunto aberto C ⊆ R, vale
x + C = {x + y: y em C} é aberto, para todo x em Ré
e
x · C = {x · y: y ∈ C} é aberto, para todo x ∈ R \ {0}é

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos e que são subconjuntos dos números reais . Definimos como o conjunto de todas as somas onde está em e está em . De forma similar, é o conjunto de todas as multiplicações . O exercício quer que a gente mostre que, se é um conjunto aberto em , então adicionar um número fixo a cada elemento de mantém aberto, e multiplicar cada elemento de por também mantém aberto, desde que não seja zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto e como as operações de adição e multiplicação afetam essa propriedade.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa um conjunto aberto em . Um conjunto é aberto se, para todo ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que está completamente dentro de . Em outras palavras, podemos sempre encontrar um “pequeno espaço” ao redor de qualquer ponto de que não sai de .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que é aberto para qualquer . Considere qualquer ponto em . Isso significa que para algum em . Como é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de , digamos , que está totalmente dentro de . Se adicionarmos a cada parte desse intervalo, obtemos , que é um intervalo aberto ao redor de e está completamente dentro de . Portanto, é aberto.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que é aberto para qualquer . Pegue qualquer ponto em . Isso significa que para algum em . Como é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de , digamos , que está totalmente dentro de . Se multiplicarmos cada parte desse intervalo por , obtemos se ou se . Em ambos os casos, obtemos um intervalo aberto ao redor de que está completamente dentro de . Portanto, é aberto.

Resposta

Assim, demonstramos que para qualquer conjunto aberto e qualquer , o conjunto é aberto, e para qualquer , o conjunto também é aberto.

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