Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos
,
- Mostre que, para qualquer conjunto aberto
, vale
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos
e
que são subconjuntos dos números reais
. Definimos
como o conjunto de todas as somas
onde
está em
e
está em
. De forma similar,
é o conjunto de todas as multiplicações
. O exercício quer que a gente mostre que, se
é um conjunto aberto em
, então adicionar um número fixo
a cada elemento de
mantém
aberto, e multiplicar cada elemento de
por
também mantém
aberto, desde que
não seja zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto e como as operações de adição e multiplicação afetam essa propriedade.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa um conjunto aberto em
. Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
em
, existe um intervalo aberto ao redor de
que está completamente dentro de
. Em outras palavras, podemos sempre encontrar um “pequeno espaço” ao redor de qualquer ponto de
que não sai de
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
é aberto para qualquer
. Considere qualquer ponto
em
. Isso significa que
para algum
em
. Como
é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de
, digamos
, que está totalmente dentro de
. Se adicionarmos
a cada parte desse intervalo, obtemos
, que é um intervalo aberto ao redor de
e está completamente dentro de
. Portanto,
é aberto.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
é aberto para qualquer
. Pegue qualquer ponto
em
. Isso significa que
para algum
em
. Como
é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de
, digamos
, que está totalmente dentro de
. Se multiplicarmos cada parte desse intervalo por
, obtemos
se
ou
se
. Em ambos os casos, obtemos um intervalo aberto ao redor de
que está completamente dentro de
. Portanto,
é aberto.
Resposta
Assim, demonstramos que para qualquer conjunto aberto
e qualquer
, o conjunto
é aberto, e para qualquer
, o conjunto
também é aberto.
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é uma cota inferior de
.
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e
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, considere
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considerarmos
?
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