Exercício 3. Sejam
e
sequências em
tais que
. Dada uma constante
, considere
. Mostre que lim
. O que ocorre com
se no lugar de
considerarmos
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de sequências numéricas e seus limites. A gente tem duas sequências,
e
, que ambas convergem para o mesmo limite
. A gente precisa mostrar que uma combinação dessas sequências, definida por
, também converge para
. Além disso, vamos ver o que acontece se, em vez de uma constante
, a gente usa uma sequência
dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que se uma sequência
converge para
, isso significa que, para qualquer número pequeno
, existe um índice a partir do qual todos os termos da sequência estão dentro de
de
.
Passo 3
Sabendo que
e
, isso quer dizer que, para qualquer
, existe um número
onde, para todo
:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a sequência
. Queremos mostrar que
. Vamos manipular essa expressão para descobrir:
Passo 5
Podemos reescrever
como
para facilitar a comparação:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor absoluto de
:
Passo 7
Usando a propriedade da desigualdade triangular, temos:
Como
,
e
, então:
Passo 8
Como sabemos que ambos
e
são menores que
para
, então:
Passo 9
Como
é arbitrário, podemos escolher
para que
. Assim,
.
Passo 10
Agora, vamos pensar no caso onde
é uma sequência
em
. Ou seja,
. Como
também está entre 0 e 1, o mesmo raciocínio anterior se aplica. Independentemente de como
varia, desde que esteja sempre entre 0 e 1, a combinação linear ainda vai garantir que
converge para
.
Resposta
Portanto,
tanto quando
é constante em
quanto quando
é uma sequência em
.