Exercício 3. Sejam (xn) e (yn) sequências em R tais que lim xn=lim yn=L. Dada uma constante lambda in[0,1], considere zn=(1-lambda) xn+lambda yn, forall n. Mostre que lim zn=L. O que ocorre com zn se no lugar de lambda considerarmos lambdan in[0,1] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de sequências numéricas e seus limites. A gente tem duas sequências, e , que ambas convergem para o mesmo limite . A gente precisa mostrar que uma combinação dessas sequências, definida por , também converge para . Além disso, vamos ver o que acontece se, em vez de uma constante , a gente usa uma sequência dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que se uma sequência converge para , isso significa que, para qualquer número pequeno , existe um índice a partir do qual todos os termos da sequência estão dentro de de .

Passo 3

Sabendo que |xn - L| < epsilon e |yn - L| < epsilon e , isso quer dizer que, para qualquer , existe um número onde, para todo :

Passo 4

Agora, vamos olhar para a sequência zn - L = (1 - lambda)xn + lambda yn - L . Queremos mostrar que . Vamos manipular essa expressão para descobrir:

Passo 5

Podemos reescrever zn - L = (1 - lambda)(xn - L) + lambda(yn - L) como para facilitar a comparação:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor absoluto de |zn - L| = |(1 - lambda)(xn - L) + lambda(yn - L)| :

Passo 7

Usando a propriedade da desigualdade triangular, temos:
|zn - L| <= |1 - lambda||xn - L| + |lambda||yn - L|
Como |zn - L| <= |xn - L| + |yn - L| , e , então:

Passo 8

Como sabemos que ambos |zn - L| <= epsilon + epsilon = 2epsilon e são menores que para , então:

Passo 9

Como é arbitrário, podemos escolher para que . Assim, .

Passo 10

Agora, vamos pensar no caso onde é uma sequência em . Ou seja, . Como também está entre 0 e 1, o mesmo raciocínio anterior se aplica. Independentemente de como varia, desde que esteja sempre entre 0 e 1, a combinação linear ainda vai garantir que converge para .

Resposta

Portanto, tanto quando é constante em quanto quando é uma sequência em .

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