Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos
,
- Verifique que, para quaisquer conjuntos
, temos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de números reais,
e
. A questão define duas operações entre esses conjuntos: a soma
e o produto
. Precisamos verificar se
é igual à união de todos os conjuntos
para cada
em
, e o mesmo vale para
. Para isso, vamos usar conceitos de união de conjuntos e operações entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Por definição:
Isso quer dizer que estamos formando um novo conjunto com todas as possíveis somas de elementos de
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Aqui, para cada elemento
em
, estamos formando o conjunto
, que é:
Então, a união de todos esses
vai reunir todas as somas possíveis de cada
com todos os
de
.
Passo 4
Comparando as duas expressões:
Vemos que ambas representam o mesmo conjunto: todas as somas possíveis entre elementos de
e
. Portanto,
é igual à união de todos os
para
em
.
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para a multiplicação. Por definição:
E:
Novamente, ambos representam todas as multiplicações possíveis entre os elementos de
e
.
Resposta
Portanto, para quaisquer conjuntos
, temos:
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Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos
,
- Mostre que, para qualquer conjunto aberto
, vale
e
Exercício 4 (Exame de seleção PPGM 2023/1). Seja
uma sequência convergente tal que cada
é uma cota inferior de um conjunto
. Mostre que
é uma cota inferior de
.
Exercício 6. (LIMA, 2014) Prove que, para quaisquer
, tem-se
Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.
Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Mostre ainda que também temos