Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos A, B ⊆ R,
A + B = {a + b: a ∈ A, b ∈ B} e A . B = {a . b: a ∈ A, b ∈ B}
  1. Verifique que, para quaisquer conjuntos A, B ⊆ R, temos
A + B = união {a + B : a em A} e A * B = união {a * B : a em A}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de números reais, e . A questão define duas operações entre esses conjuntos: a soma e o produto . Precisamos verificar se é igual à união de todos os conjuntos para cada em , e o mesmo vale para . Para isso, vamos usar conceitos de união de conjuntos e operações entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Por definição:
Isso quer dizer que estamos formando um novo conjunto com todas as possíveis somas de elementos de e .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Aqui, para cada elemento em , estamos formando o conjunto , que é:
Então, a união de todos esses vai reunir todas as somas possíveis de cada com todos os de .

Passo 4

Comparando as duas expressões:
Vemos que ambas representam o mesmo conjunto: todas as somas possíveis entre elementos de e . Portanto, é igual à união de todos os para em .

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para a multiplicação. Por definição:
E:
Novamente, ambos representam todas as multiplicações possíveis entre os elementos de e .

Resposta

Portanto, para quaisquer conjuntos , temos:

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