Exercício 4 (Exame de seleção PPGM 2023/1). Seja (xn) uma sequência convergente tal que cada xn é uma cota inferior de um conjunto X subset R. Mostre que lim xn é uma cota inferior de X.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência que converge para algum valor, e cada termo dessa sequência é uma cota inferior de um conjunto . Nosso objetivo é mostrar que o limite dessa sequência, , também é uma cota inferior de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências convergentes e propriedades de cotas inferiores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser uma cota inferior. Dizemos que um número é uma cota inferior de um conjunto se, para todo elemento em , temos . No nosso caso, cada termo da sequência satisfaz para todo .

Passo 3

Sabemos que a sequência converge para . Uma propriedade importante das sequências convergentes é que se para todo , , então no limite, também teremos . Isso acontece porque os limites preservam as desigualdades.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, já que lim xn <= y para todo e para todo , tomamos o limite dos dois lados da desigualdade:
Portanto, para todo .

Resposta

é uma cota inferior de .

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