Exercício 4 (Exame de seleção PPGM 2023/1). Seja
uma sequência convergente tal que cada
é uma cota inferior de um conjunto
. Mostre que
é uma cota inferior de
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência
que converge para algum valor, e cada termo dessa sequência é uma cota inferior de um conjunto
. Nosso objetivo é mostrar que o limite dessa sequência,
, também é uma cota inferior de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências convergentes e propriedades de cotas inferiores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser uma cota inferior. Dizemos que um número
é uma cota inferior de um conjunto
se, para todo elemento
em
, temos
. No nosso caso, cada termo da sequência
satisfaz
para todo
.
Passo 3
Sabemos que a sequência
converge para
. Uma propriedade importante das sequências convergentes é que se para todo
,
, então no limite, também teremos
. Isso acontece porque os limites preservam as desigualdades.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, já que
para todo
e para todo
, tomamos o limite dos dois lados da desigualdade:
Portanto,
para todo
.
Resposta
Exercícios relacionados
Exercício 3. Sejam
e
sequências em
tais que
. Dada uma constante
, considere
. Mostre que lim
. O que ocorre com
se no lugar de
considerarmos
?
Exercício 2 (Exame de seleção PPGM 2023/1). Seja
uma função contínua. Mostre que
possui algum ponto fixo, ou seja,
tal que
. Mostre que
tal que
.
Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos
,
- Mostre que, para qualquer conjunto aberto
, vale
e
Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos
,
- Verifique que, para quaisquer conjuntos
, temos