Exercício 6. (LIMA, 2014) Prove que, para quaisquer
, tem-se
Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para quaisquer conjuntos
e
dentro dos números reais, a união das partes interiores de
e
está contida na parte interior da união de
e
. Além disso, precisamos dar um exemplo onde essa inclusão não é uma igualdade. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente o de interior de um conjunto, que é basicamente o conjunto de todos os pontos que estão “bem dentro” do conjunto, sem estar na borda.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
.
Para isso, pegamos um ponto qualquer
que está na união das partes interiores de
e
, ou seja,
ou
. Sem perda de generalidade, suponha que
. Isso significa que existe uma vizinhança de
que está completamente dentro de
. Como
está dentro de
, essa mesma vizinhança está dentro de
. Portanto,
também está na parte interior de
. O mesmo vale se
estiver em
. Assim, mostramos que qualquer ponto em
está também em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um exemplo onde
é diferente de
, ou seja, onde a inclusão não é uma igualdade.
Considere os seguintes conjuntos no
:
-
(o intervalo fechado de 0 a 1) -
(o intervalo fechado de 1 a 2)
Vamos analisar as partes interiores:
-
-
- Então,
menos o ponto 1.
Agora, a parte interior da união de
e
é:
Perceba que
menos o ponto 1, enquanto
. Assim, o ponto 1 está na parte interior da união, mas não está na união das partes interiores.
Resposta
Portanto, mostramos que
e fornecemos um exemplo onde essa inclusão é estrita, ou seja, não é uma igualdade.
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