Exercício 6. (LIMA, 2014) Prove que, para quaisquer , tem-se
Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para quaisquer conjuntos e dentro dos números reais, a união das partes interiores de e está contida na parte interior da união de e . Além disso, precisamos dar um exemplo onde essa inclusão não é uma igualdade. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente o de interior de um conjunto, que é basicamente o conjunto de todos os pontos que estão “bem dentro” do conjunto, sem estar na borda.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que .
Para isso, pegamos um ponto qualquer que está na união das partes interiores de e , ou seja, ou . Sem perda de generalidade, suponha que . Isso significa que existe uma vizinhança de que está completamente dentro de . Como está dentro de , essa mesma vizinhança está dentro de . Portanto, também está na parte interior de . O mesmo vale se estiver em . Assim, mostramos que qualquer ponto em está também em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar um exemplo onde é diferente de , ou seja, onde a inclusão não é uma igualdade.
Considere os seguintes conjuntos no :
  • (o intervalo fechado de 0 a 1)
  • (o intervalo fechado de 1 a 2)
Vamos analisar as partes interiores:
  • Então, menos o ponto 1.
Agora, a parte interior da união de e é:
Perceba que menos o ponto 1, enquanto . Assim, o ponto 1 está na parte interior da união, mas não está na união das partes interiores.

Resposta

Portanto, mostramos que e fornecemos um exemplo onde essa inclusão é estrita, ou seja, não é uma igualdade.

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