Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam , e
Mostre ainda que também temos
ã

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções e definidas em (os números reais):
O objetivo é mostrar que, para qualquer conjunto aberto , as imagens dessas funções, e , também são abertas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre funções contínuas e suas propriedades em relação a conjuntos abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em , um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente contido no conjunto.
Agora, vamos falar sobre funções contínuas. Uma função é contínua se pequenos movimentos em na entrada resultam em pequenos movimentos na saída. Uma propriedade importante das funções contínuas é que elas preservam a “oubertura” dos conjuntos. Ou seja, se é um conjunto aberto e é contínua, então também é aberto.

Passo 3

Vamos analisar a função . Essa é uma função linear com coeficiente , o que significa que ela é bijetora (tem inversa) e, portanto, é uma homeomorfismo. Além disso, funções lineares são contínuas. Então, aplicando a propriedade que mencionamos, será aberto se for aberto.

Passo 4

Agora, vamos para a função . Essa função também é contínua em , já que polinômios são funções contínuas. Além disso, é estritamente crescente porque o seu derivado é sempre positivo para todo . Isso garante que é bijetora e, portanto, também é um homeomorfismo. Assim, será aberto se for aberto.

Resposta

Portanto, mostramos que tanto quanto são conjuntos abertos sempre que for um conjunto aberto em .

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