Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Mostre ainda que também temos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções
e
definidas em
(os números reais):
O objetivo é mostrar que, para qualquer conjunto aberto
, as imagens dessas funções,
e
, também são abertas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre funções contínuas e suas propriedades em relação a conjuntos abertos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em
, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente contido no conjunto.
Agora, vamos falar sobre funções contínuas. Uma função
é contínua se pequenos movimentos em
na entrada resultam em pequenos movimentos na saída. Uma propriedade importante das funções contínuas é que elas preservam a “oubertura” dos conjuntos. Ou seja, se
é um conjunto aberto e
é contínua, então
também é aberto.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Essa é uma função linear com coeficiente
, o que significa que ela é bijetora (tem inversa) e, portanto, é uma homeomorfismo. Além disso, funções lineares são contínuas. Então, aplicando a propriedade que mencionamos,
será aberto se
for aberto.
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Essa função também é contínua em
, já que polinômios são funções contínuas. Além disso,
é estritamente crescente porque o seu derivado
é sempre positivo para todo
. Isso garante que
é bijetora e, portanto, também é um homeomorfismo. Assim,
será aberto se
for aberto.
Resposta
Portanto, mostramos que tanto
quanto
são conjuntos abertos sempre que
for um conjunto aberto em
.
Exercícios relacionados
Exercício 6. (LIMA, 2014) Prove que, para quaisquer
, tem-se
Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.
Exercício 5. Considere, para quaisquer conjuntos
,
- Verifique que, para quaisquer conjuntos
, temos
Exercício 7. (LIMA, 2014) Sejam
, e
Mostre que
Exercício 9. (LIMA, 2014) Prove que para todo
é fechado.