Exercício 2. Dadas T: V W linear, alpha base de V e beta base de W, calcule [T]beta^alpha.
(b) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+y+3 z,-x+y-2 z), alpha=(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1) e beta=(1,-1,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma transformação linear que vai de pra , e queremos encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases dadas e . Para isso, vamos precisar entender como as bases funcionam e como aplicar a transformação a cada vetor das bases.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, T(x, y, z) = (x + y + z, 2x + y + 3z, -x + y - 2z) pega um vetor de e transforma em outro vetor de de forma que preserve a estrutura linear (ou seja, ). A nossa transformação aqui é definida por:

Passo 3

Agora, vamos ver as bases alpha = v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (1, 1, 1) e beta = w1 = (1, -1, 1), w2 = (0, 1, 1), w3 = (0, 0, 1) . A base de é composta pelos vetores:
E a base de é:

Passo 4

O próximo passo é aplicar a transformação T(v1) = T(1, 0, 1) = (1 + 0 + 1,, 2(1) + 0 + 3(1),, -1 + 0 - 2(1)) = (2, 5, -3) a cada vetor da base T(v2) = T(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0,, 2(1) + 0 + 3(0),, -1 + 0 - 2(0)) = (1, 2, -1) . Vamos calcular T(v3) = T(1, 1, 1) = (1 + 1 + 1,, 2(1) + 1 + 3(1),, -1 + 1 - 2(1)) = (3, 6, -2) , e :

Passo 5

Agora que temos os vetores transformados, precisamos expressá-los na base T(vi) = a w1 + b w2 + c w3 . Para isso, vamos encontrar as coordenadas de cada em relação a . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Vamos fazer isso para cada vetor transformado.

Passo 6

Vamos começar com (2, 5, -3) = a(1, -1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) :
a = 2 - a + b = 5 a + b + c = -3
Isso resulta no sistema de equações:
a = 2 -2 + b = 5 Rightarrow b = 7 2 + 7 + c = -3 Rightarrow c = -12
Resolvendo:
Então, as coordenadas são .

Passo 7

Agora, para (1, 2, -1) = a(1, -1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) :
a = 1 - a + b = 2 a + b + c = -1
Sistema de equações:
a = 1 -1 + b = 2 Rightarrow b = 3 1 + 3 + c = -1 Rightarrow c = -5
Resolvendo:
Então, as coordenadas são .

Passo 8

Por último, para (3, 6, -2) = a(1, -1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) :
a = 3 - a + b = 6 a + b + c = -2
Sistema de equações:
a = 3 -3 + b = 6 Rightarrow b = 9 3 + 9 + c = -2 Rightarrow c = -14
Resolvendo:
Então, as coordenadas são .

Resposta

A matriz [T]beta^alpha = 2 & 1 & 3 7 & 3 & 9 -12 & -5 & -14 é:

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