Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(b) dada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma transformação linear que vai de pra , e queremos encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases dadas e . Para isso, vamos precisar entender como as bases funcionam e como aplicar a transformação a cada vetor das bases.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, pega um vetor de e transforma em outro vetor de de forma que preserve a estrutura linear (ou seja, ). A nossa transformação aqui é definida por:

Passo 3

Agora, vamos ver as bases e . A base de é composta pelos vetores:
E a base de é:

Passo 4

O próximo passo é aplicar a transformação a cada vetor da base . Vamos calcular , e :

Passo 5

Agora que temos os vetores transformados, precisamos expressá-los na base . Para isso, vamos encontrar as coordenadas de cada em relação a . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Vamos fazer isso para cada vetor transformado.

Passo 6

Vamos começar com :
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Então, as coordenadas são .

Passo 7

Agora, para :
Sistema de equações:
Resolvendo:
Então, as coordenadas são .

Passo 8

Por último, para :
Sistema de equações:
Resolvendo:
Então, as coordenadas são .

Resposta

A matriz é:

Exercícios relacionados

Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(a) dada por .
Se possível, calcule a inversa da matriz
Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
© dada por .
Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(d) dada por e .