Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir o que o teste da segunda derivada nos diz sobre o ponto
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Essas derivadas vão nos ajudar a identificar se
é um ponto crítico.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um ponto crítico. Um ponto é crítico quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero nesse ponto.
Substituindo
e
nas derivadas:
Como ambas são zero,
é realmente um ponto crítico.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem que são necessárias para o teste da segunda derivada.
A derivada parcial de segunda ordem em
é:
A derivada parcial mista é:
E a derivada parcial de segunda ordem em
é:
Passo 5
Com essas derivadas, vamos calcular o discriminante
no ponto
. O discriminante é dado por:
Substituindo
e
:
Então,
Passo 6
Agora, interpretamos o valor de
. Se
e
, é um mínimo local; se
e
, é um máximo local. Se
, é um ponto de sela; e se
, o teste não é conclusivo.
No nosso caso,
, então
é um ponto de sela.
Resposta
O teste da derivada segunda indica que o ponto
é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
Invetigue o caráter das seguintes séries:
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
.
Investigue o caráter das seguintes séries: