Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: (0,0);

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente tem a função e precisa descobrir o que o teste da segunda derivada nos diz sobre o ponto . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e . Essas derivadas vão nos ajudar a identificar se é um ponto crítico.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um ponto crítico. Um ponto é crítico quando ambas as derivadas parciais são iguais a zero nesse ponto.
Substituindo e nas derivadas:
Como ambas são zero, é realmente um ponto crítico.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem que são necessárias para o teste da segunda derivada.
A derivada parcial de segunda ordem em é:
A derivada parcial mista é:
E a derivada parcial de segunda ordem em é:

Passo 5

Com essas derivadas, vamos calcular o discriminante no ponto . O discriminante é dado por:
Substituindo e :
Então,

Passo 6

Agora, interpretamos o valor de . Se e , é um mínimo local; se e , é um máximo local. Se , é um ponto de sela; e se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, , então é um ponto de sela.

Resposta

O teste da derivada segunda indica que o ponto é um ponto de sela.

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Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: 1,1.
Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty (-1)^n-1 3^nn^2