Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir que informação o teste da derivada segunda nos dá para a função no ponto . A matéria que vai rolar aqui é cálculo de funções de várias variáveis, especificamente usando derivadas parciais e o teste da derivada segunda para classificar pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, encontrar o discriminante, e analisar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e . Isso significa derivar mantendo uma variável constante.

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Como ambas as derivadas parciais são zero, é um ponto crítico.

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da derivada segunda. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 5

Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto :

Passo 6

O discriminante do teste da derivada segunda é calculado por:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, analisamos o discriminante:
  • Se e , o ponto é um mínimo local.
  • Se e , o ponto é um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Então, o ponto é um mínimo local.

Resposta

O teste da derivada segunda indica que o ponto é um mínimo local para a função .

Exercícios relacionados

Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: (0,0);
Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
sumn=1^infty ln (1+1n)
Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty (-1)^n-1 3^nn^2
Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty n^2(n+1)!