Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir que informação o teste da derivada segunda nos dá para a função
no ponto
. A matéria que vai rolar aqui é cálculo de funções de várias variáveis, especificamente usando derivadas parciais e o teste da derivada segunda para classificar pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, encontrar o discriminante, e analisar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
. Isso significa derivar
mantendo uma variável constante.
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Como ambas as derivadas parciais são zero,
é um ponto crítico.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da derivada segunda. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 5
Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto
:
Passo 6
O discriminante
do teste da derivada segunda é calculado por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, analisamos o discriminante:
- Se
e , o ponto é um mínimo local. - Se
e , o ponto é um máximo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Então, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
O teste da derivada segunda indica que o ponto
é um mínimo local para a função
.
Exercícios relacionados
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
Investigue o caráter das seguintes séries:
Investigue o caráter das seguintes séries: