Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty (-1)^n-1 3^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou não. Isso envolve entender um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência que usamos para analisar esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge de forma absolutamente. Isso significa que a gente olha para a série sem considerar o sinal alternado, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar essa nova série . A gente pode usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para ver se essa série converge. Esse teste diz que se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
limn to infty | 3^n+1/(n+1)^23^n/n^2 | = limn to infty 3 cdot ( nn+1 )^2 = 3 cdot 1 = 3
Como 3 é maior que 1, isso significa que a série diverge. Então, a série original não converge absolutamente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série original converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se (a parte positiva da sequência) é decrescente e tende a zero, então a série alternada converge.

Passo 6

No nosso caso, limn to infty 3^nn^2 = infty . Para ver se tende a zero:
Isso porque cresce muito mais rápido que , então o limite não é zero. Portanto, o Teste da Série Alternada também não é satisfeito.

Passo 7

Como a série não converge absolutamente nem condicionalmente, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: 1,1.
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: (0,0);
Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty n^2(n+1)!
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c) f_xx(0,0)=3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2