Invetigue o caráter das seguintes séries: 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + ...

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de forma geral. Observando os termos, percebemos que o n-ésimo termo da série pode ser representado por . Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste nos diz que se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, a série diverge. Ou seja, se:
então a série não converge.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Primeiro, encontramos o limite do termo geral:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Como o limite do termo geral é , que não é zero, segundo o Teste da Divergência, a série não converge. Ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: (-1, -1);
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de f(x).
f(x) = x^2 arctan(x^3)
Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
y = sen(x^2)
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: (0,0);