Invetigue o caráter das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série de forma geral. Observando os termos, percebemos que o n-ésimo termo da série pode ser representado por
. Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste nos diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge. Ou seja, se:
então a série não converge.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Primeiro, encontramos o limite do termo geral:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Como o limite do termo geral é
, que não é zero, segundo o Teste da Divergência, a série não converge. Ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;