Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty n^2(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamo lá! A gente tem uma série infinita: sumn=1^infty n^2(n+1)!. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Pra resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste da razão (ou teste de D’Alembert) que ajuda a determinar a convergência das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Basicamente, é a soma de uma sequência de termos que continuam infinitamente. Para saber se essa soma tem um valor finito (converge) ou se vai pra infinito (diverge), usamos alguns testes de convergência.

Passo 3

Uma das ferramentas que podemos usar é o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatoriais ou potências. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá informação.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = n^2(n+1)!
Agora, calculamos o próximo termo da série:
an+1 = (n+1)^2(n+2)!

Passo 5

Agora, vamos formar a razão entre an+1 e an:
an+1an = (n+1)^2(n+2)! cdot (n+1)!n^2 = (n+1)^2(n+2) cdot n^2
Simplificando:
an+1an = (n+1)^2n^2 (n+2) = (n+1)^2n^2(n+2)

Passo 6

Vamos calcular o limite dessa razão quando n tende a infinito:
L = limn to infty (n+1)^2n^2(n+2)
Expandindo o numerador:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Então:
L = limn to infty n^2 + 2n + 1n^2(n+2) = limn to infty 1 + 2n + 1n^2n+2
Quando n tende a infinito, os termos 2n e 1n^2 vão pra zero, então:
L = limn to infty 1 + 0 + 0n + 2 = limn to infty 1n + 2 = 0

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge. Aqui, encontramos que L = 0, que é claramente menor que 1. Portanto, nossa série sumn=1^infty n^2(n+1)! converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2(n+1)! converge.

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Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 no ponto: 1,1.
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c) f_xx(0,0)=3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f) f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2 + 2*x))