EXERCICIO 7 Duas linhas infinitas de cargas, cada uma com uma densidade de carga rho1, estão em paralelo com o eixo z e situadas em x=1 e x= -1 . Determine E em um ponto arbitrário no espaço livre ao longo do eixo y.
Resp. E=y rhol y /[pi varepsilon0(y^2+1)].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos duas linhas infinitas de cargas, cada uma com densidade de carga , alinhadas ao longo do eixo e posicionadas nos pontos e . O objetivo é determinar o campo elétrico em um ponto qualquer ao longo do eixo no espaço livre. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por linhas de carga infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga com densidade E = rho2pivarepsilon0 r r a uma distância dela é dado pela fórmula:
onde é a permissividade do vácuo e é o vetor unitário na direção do campo.

Passo 3

No nosso caso, temos duas linhas de carga: uma em e outra em . Queremos encontrar o campo resultante em um ponto ao longo do eixo , que podemos considerar como .

Passo 4

Vamos calcular a distância de cada linha de carga até o ponto r1 = raiz(1 - 0)^2 + (0 - y)^2 = raiz1 + y^2 . Para a linha em r2 = raiz(-1 - 0)^2 + (0 - y)^2 = raiz1 + y^2 , a distância é:
De forma semelhante, para a linha em , a distância também é:

Passo 5

Agora, vamos determinar as direções dos campos elétricos gerados por cada linha de carga. Como ambas as linhas estão simetricamente posicionadas em relação ao eixo , os componentes horizontais dos campos (ao longo do eixo ) irão se cancelar, deixando apenas a componente vertical (ao longo do eixo ).

Passo 6

Calculando o campo elétrico de uma linha de carga:
E1 = rho12pivarepsilon0 raiz1 + y^2 y
E2 = rho12pivarepsilon0 raiz1 + y^2 y

Passo 7

Somando os campos elétricos das duas linhas:
Simplificando:
E = E1 + E2 = rho12pivarepsilon0 raiz1 + y^2 y + rho12pivarepsilon0 raiz1 + y^2 y = rho1 cdot 22pivarepsilon0 raiz1 + y^2 y

Resposta

E = y rho1 ypi varepsilon0 (y^2 + 1)

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