EXERCÍCIO 9 Um volume esférico de raio a contém uma densidade volumétrica de carga rhov. Use a lei de Gauss para determinar D para (a) R <= a e (b) R >= a.
Resp. (a) D=R rhov R / 3,
(b) D=R rhov a^3 /(3 R^2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma esfera com raio que possui uma densidade volumétrica de carga . A gente precisa usar a Lei de Gauss para encontrar o vetor deslocamento elétrico em duas situações diferentes: quando a distância do ponto onde queremos encontrar é menor ou igual a (dentro da esfera) e quando é maior ou igual a (fora da esfera).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss para o vetor deslocamento elétrico ointsuperfície D cdot dA = Qenc . A Lei de Gauss nos diz que:
í
Isso significa que o fluxo do vetor através de uma superfície fechada é igual à carga total que está dentro dessa superfície.

Passo 3

Como a esfera tem simetria esférica, a escolha natural para a superfície gaussiana é uma esfera concêntrica de raio . Isso facilita os cálculos porque o vetor terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial, ou seja, na direção de .

Passo 4

Vamos calcular Qenc = rhov cdot 43 pi R^3 para os dois casos:

(a) Qenc = rhov cdot 43 pi a^3 (dentro da esfera)

Nesse caso, a superfície gaussiana está dentro da esfera carregada. A carga total dentro dessa superfície é a carga contida em um volume de raio :

(b) (fora da esfera)

Aqui, a superfície gaussiana envolve toda a esfera carregada. Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é a carga total da esfera:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para cada caso.

(a) oint D cdot dA = D cdot 4 pi R^2

Usando a simetria, o fluxo do vetor D cdot 4 pi R^2 = rhov cdot 43 pi R^3 através da superfície gaussiana é:
D = rhov R3
De acordo com a Lei de Gauss:
D = R cdot rhov R3
Resolvendo para oint D cdot dA = D cdot 4 pi R^2 :
D cdot 4 pi R^2 = rhov cdot 43 pi a^3
Então, o vetor D = rhov a^33 R^2 é:
D = R cdot rhov a^33 R^2

(b)

Novamente, calculamos o fluxo:
E pela Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, o vetor é:

Resposta

(a) Para D = R cdot rhov R3 :
D = R cdot rhov a^33 R^2
(b) Para :

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