EXERCÍCIO 9 Um volume esférico de raio
contém uma densidade volumétrica de carga
. Use a lei de Gauss para determinar
para (a)
e (b)
.
Resp. (a)
,
(b)
.
Resp. (a)
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma esfera com raio
que possui uma densidade volumétrica de carga
. A gente precisa usar a Lei de Gauss para encontrar o vetor deslocamento elétrico
em duas situações diferentes: quando a distância
do ponto onde queremos encontrar
é menor ou igual a
(dentro da esfera) e quando
é maior ou igual a
(fora da esfera).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss para o vetor deslocamento elétrico
. A Lei de Gauss nos diz que:
Isso significa que o fluxo do vetor
através de uma superfície fechada é igual à carga total
que está dentro dessa superfície.
Passo 3
Como a esfera tem simetria esférica, a escolha natural para a superfície gaussiana é uma esfera concêntrica de raio
. Isso facilita os cálculos porque o vetor
terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial, ou seja, na direção de
.
Passo 4
Vamos calcular
para os dois casos:
(a)
(dentro da esfera)
Nesse caso, a superfície gaussiana está dentro da esfera carregada. A carga total dentro dessa superfície é a carga contida em um volume de raio
:
(b)
(fora da esfera)
Aqui, a superfície gaussiana envolve toda a esfera carregada. Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é a carga total da esfera:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para cada caso.
(a)
Usando a simetria, o fluxo do vetor
através da superfície gaussiana é:
De acordo com a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, o vetor
é:
(b)
Novamente, calculamos o fluxo:
E pela Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, o vetor
é:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
: