Exercício 2 (Exame de seleção PPGM 2023/1). Seja
uma função contínua. Mostre que
possui algum ponto fixo, ou seja,
tal que
. Mostre que
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que uma função contínua
tem pelo menos um ponto fixo, ou seja, um número
no intervalo
tal que
. Além disso, também precisamos mostrar que existe um
que satisfaz
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é bem útil quando lidamos com funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no ponto fixo
onde
. Para isso, vamos considerar a função auxiliar
. Como
é contínua e
é uma função linear (também contínua),
também é contínua no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar
nas extremidades do intervalo:
-
Em
: Como, sabemos que , então . -
Em
: De novo,, então .
Passo 4
Temos que
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e muda de sinal no intervalo
, deve existir pelo menos um ponto
onde
. Ou seja:
Assim, garantimos a existência do ponto fixo.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que existe um
tal que
. Para isso, consideramos outra função auxiliar:
Essa função também é contínua no intervalo
.
Passo 6
Vamos avaliar
nas extremidades:
-
Em
: Sabemos que, então . -
Em
: E como, temos .
Passo 7
Embora
possa ser negativo ou positivo, e
também, precisamos garantir que há uma mudança de sinal. Observando que
(já que
) e
, vemos que
passa de negativo para positivo ou vice-versa.
Passo 8
Aplicando novamente o Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e muda de sinal no intervalo
, existe pelo menos um ponto
onde
. Ou seja:
Portanto, garantimos a existência desse ponto
.
Resposta
Existem pelo menos um valor
tal que
e outro valor
tal que
.