Exercício 2 (Exame de seleção PPGM 2023/1). Seja uma função contínua. Mostre que possui algum ponto fixo, ou seja, tal que . Mostre que tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que uma função contínua tem pelo menos um ponto fixo, ou seja, um número no intervalo tal que . Além disso, também precisamos mostrar que existe um que satisfaz . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é bem útil quando lidamos com funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no ponto fixo onde . Para isso, vamos considerar a função auxiliar . Como é contínua e é uma função linear (também contínua), também é contínua no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos avaliar nas extremidades do intervalo:
  • Em :
    Como , sabemos que , então .
  • Em :
    De novo, , então .

Passo 4

Temos que e . Pelo Teorema do Valor Intermediário, como é contínua e muda de sinal no intervalo , deve existir pelo menos um ponto onde . Ou seja:
Assim, garantimos a existência do ponto fixo.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que existe um tal que . Para isso, consideramos outra função auxiliar:
Essa função também é contínua no intervalo .

Passo 6

Vamos avaliar nas extremidades:
  • Em :
    Sabemos que , então .
  • Em :
    E como , temos .

Passo 7

Embora possa ser negativo ou positivo, e também, precisamos garantir que há uma mudança de sinal. Observando que (já que ) e , vemos que passa de negativo para positivo ou vice-versa.

Passo 8

Aplicando novamente o Teorema do Valor Intermediário, como é contínua e muda de sinal no intervalo , existe pelo menos um ponto onde . Ou seja:
Portanto, garantimos a existência desse ponto .

Resposta

Existem pelo menos um valor tal que e outro valor tal que .

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