Seja a região limitada por um caminho fechado simples no plano . Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide de são
onde é a área de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Green para mostrar como calcular as coordenadas do centroide de uma região limitada por um caminho fechado no plano . O centroide é tipo o “ponto médio” da área da região. A gente vai precisar entender o Teorema de Green e como ele relaciona integrais de linha com integrais duplas. Além disso, vamos usar a fórmula da área de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centroide. As coordenadas do centroide são dadas por:
Aqui, é a área da região .

Passo 3

Agora, para usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green diz que:
Vamos escolher funções e de forma que possamos relacionar essa igualdade com as fórmulas do centroide.

Passo 4

Para encontrar , queremos expressar em termos de uma integral de linha. Vamos escolher e . Assim, o Teorema de Green fica:
Simplificando a integral dupla:
Então temos:

Passo 5

Daí, para encontrar , usamos a fórmula do centroide:

Passo 6

Agora, para , seguimos um raciocínio parecido. Escolhemos e . Aplicando o Teorema de Green:
Simplificando a integral dupla:
Então temos:

Passo 7

Usando a fórmula do centroide para :

Resposta

Então, demonstramos que as coordenadas do centroide de são:

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Retornos Obtidos
Empresa GAMA
Empresa SIGMA

Correlação (Gama, Sigma)

a) Carteira I => de Gama e de Sigma
b) Carteira II => de Gama e de Sigma
Qual das carteiras de investimentos indicadas a seguir, apresenta a melhor alternativa de investimento, considerando as informações apresentadas abaixo, referentes às empresas COMETA e SOLAR, a partir na análise da relação risco / retorno ?
Empresa Empresa COMETA Empresa SOLAR
Retorno Médio
Risco Financeiro
Correlação (Cometa, Solar) - 0,60
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