Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano x y. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide (barx, bary) de D são
barx=12 A ointC x^2 d y bary=-12 A ointC y^2 d x
onde A é a área de D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Green para mostrar como calcular as coordenadas do centroide de uma região limitada por um caminho fechado no plano . O centroide é tipo o “ponto médio” da área da região. A gente vai precisar entender o Teorema de Green e como ele relaciona integrais de linha com integrais duplas. Além disso, vamos usar a fórmula da área de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centroide. As coordenadas do centroide barx = 1A integral duplaD x , dA e bary = 1A integral duplaD y , dA são dadas por:
Aqui, é a área da região .

Passo 3

Agora, para usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green diz que:
ointC (L , dx + M , dy) = integral duplaD ( partial Mpartial x - partial Lpartial y ) dA
Vamos escolher funções e de forma que possamos relacionar essa igualdade com as fórmulas do centroide.

Passo 4

Para encontrar ointC (0 cdot dx + x^22 cdot dy) = integral duplaD ( partialpartial x(x^22) - partialpartial y(0) ) dA , queremos expressar integral duplaD x , dA em termos de uma integral de linha. Vamos escolher ointC x^22 , dy = integral duplaD x , dA e . Assim, o Teorema de Green fica:
Simplificando a integral dupla:
Então temos:

Passo 5

Daí, para encontrar barx = 1A integral duplaD x , dA = 1A ointC x^22 , dy = 12A ointC x^2 , dy , usamos a fórmula do centroide:

Passo 6

Agora, para ointC (-y^22 cdot dx + 0 cdot dy) = integral duplaD ( partialpartial x(0) - partialpartial y(-y^22) ) dA , seguimos um raciocínio parecido. Escolhemos integral duplaD y , dA e ointC -y^22 , dx = integral duplaD y , dA . Aplicando o Teorema de Green:
Simplificando a integral dupla:
Então temos:

Passo 7

Usando a fórmula do centroide para bary = 1A integral duplaD y , dA = 1A ointC -y^22 , dx = -12A ointC y^2 , dx :

Resposta

Então, demonstramos que as coordenadas do centroide barx = 12A ointC x^2 , dy e bary = -12A ointC y^2 , dx de são:

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