Seja
a região limitada por um caminho fechado simples
no plano
. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide
de
são
onde
é a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Green para mostrar como calcular as coordenadas do centroide
de uma região
limitada por um caminho fechado
no plano
. O centroide é tipo o “ponto médio” da área da região. A gente vai precisar entender o Teorema de Green e como ele relaciona integrais de linha com integrais duplas. Além disso, vamos usar a fórmula da área
de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o centroide. As coordenadas do centroide
são dadas por:
Aqui,
é a área da região
.
Passo 3
Agora, para usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green diz que:
Vamos escolher funções
e
de forma que possamos relacionar essa igualdade com as fórmulas do centroide.
Passo 4
Para encontrar
, queremos expressar
em termos de uma integral de linha. Vamos escolher
e
. Assim, o Teorema de Green fica:
Simplificando a integral dupla:
Então temos:
Passo 5
Daí, para encontrar
, usamos a fórmula do centroide:
Passo 6
Agora, para
, seguimos um raciocínio parecido. Escolhemos
e
. Aplicando o Teorema de Green:
Simplificando a integral dupla:
Então temos:
Passo 7
Usando a fórmula do centroide para
:
Resposta
Então, demonstramos que as coordenadas do centroide
de
são: