Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função não for diferenciável.
Considere a função:
  1. Sejam e , uma curva parametrizada. Mostre que é diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente no ponto e fora dele. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções compostas. Vamos precisar entender como compor com uma curva parametrizada e verificar se a função resultante é diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva parametrizada , onde . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no plano que está na linha que passa pela origem com direção .

Passo 3

Agora, vamos compor com para obter . Substituindo na definição de :
Para , essa expressão vale. E para , .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é diferenciável. Observamos que é uma função linear em . Funções lineares são diferenciáveis em todo o seu domínio. Além disso, no ponto , o limite da derivada coincide com o valor da derivada, garantindo a diferenciabilidade nesse ponto também.

Resposta

A função é diferenciável para todo .

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Considere a função:
  1. Verifique que não é diferenciável em .
Seja:

Calcule, se existir,
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Considere a função:
  1. Conclua mostrando que .
O fato de ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
(a)