Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função f não for diferenciável.
Considere a função:
f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) }
  1. Sejam (a, b) != (0, 0) e gamma(t) = (a t, b t), uma curva parametrizada. Mostre que g(t) = (f o gamma)(t) é diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente no ponto e fora dele. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções compostas. Vamos precisar entender como compor com uma curva parametrizada e verificar se a função resultante é diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva parametrizada , onde . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no plano que está na linha que passa pela origem com direção .

Passo 3

Agora, vamos compor com para obter . Substituindo na definição de :
Para , essa expressão vale. E para , .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é diferenciável. Observamos que é uma função linear em . Funções lineares são diferenciáveis em todo o seu domínio. Além disso, no ponto , o limite da derivada coincide com o valor da derivada, garantindo a diferenciabilidade nesse ponto também.

Resposta

A função é diferenciável para todo .

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