Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
- Sejam
e
, uma curva parametrizada. Mostre que
é diferenciável.
Considere a função:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente no ponto
e fora dele. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente sobre diferenciabilidade de funções compostas. Vamos precisar entender como compor
com uma curva parametrizada
e verificar se a função resultante
é diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva parametrizada
, onde
. Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto no plano
que está na linha que passa pela origem com direção
.
Passo 3
Agora, vamos compor
com
para obter
. Substituindo na definição de
:
Para
, essa expressão vale. E para
,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é diferenciável. Observamos que
é uma função linear em
. Funções lineares são diferenciáveis em todo o seu domínio. Além disso, no ponto
, o limite da derivada coincide com o valor da derivada, garantindo a diferenciabilidade nesse ponto também.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
.
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Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Verifique que
não é diferenciável em .
Seja:
Calcule, se existir,
Calcule, se existir,
Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Conclua mostrando que
.
O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
(a)
(a)