Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função f não for diferenciável.
Considere a função:
f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) }
  1. Conclua mostrando que (f o gamma)'(0) != nabla f(0,0) . gamma'(0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida de forma diferente quando é igual a e quando não é. A matéria aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a diferenciação e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, a gradiente da função e como a regra da cadeia funciona quando combinamos funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Queremos analisar se a regra da cadeia se aplica nesse caso, especificamente mostrando que .

Passo 3

Vamos definir uma curva que passa por quando . Para simplificar, vamos escolher uma curva linear, por exemplo:
Onde e são constantes que determinam a direção da curva.

Passo 4

Agora, vamos compor a função com a curva :

Passo 5

Vamos calcular a derivada de em :

Passo 6

Agora, vamos calcular o gradiente de em . O gradiente é dado por:
Calculamos as derivadas parciais em :
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar . Primeiro, encontramos :
Portanto,
E então,

Passo 8

Comparando os resultados:
Esses valores são diferentes a menos que , ou seja, se ou .

Resposta

Assim, mostramos que , o que indica que a regra da cadeia não se aplica quando a função não é diferenciável em .

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