Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
- Conclua mostrando que
.
Considere a função:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função
definida de forma diferente quando
é igual a
e quando não é. A matéria aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a diferenciação e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, a gradiente da função e como a regra da cadeia funciona quando combinamos funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Queremos analisar se a regra da cadeia se aplica nesse caso, especificamente mostrando que
.
Passo 3
Vamos definir uma curva
que passa por
quando
. Para simplificar, vamos escolher uma curva linear, por exemplo:
Onde
e
são constantes que determinam a direção da curva.
Passo 4
Agora, vamos compor a função
com a curva
:
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o gradiente de
em
. O gradiente é dado por:
Calculamos as derivadas parciais em
:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Primeiro, encontramos
:
Portanto,
E então,
Passo 8
Comparando os resultados:
Esses valores são diferentes a menos que
, ou seja, se
ou
.
Resposta
Assim, mostramos que
, o que indica que a regra da cadeia não se aplica quando a função
não é diferenciável em
.
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Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Sejam
e , uma curva parametrizada. Mostre que é diferenciável.
Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Verifique que
não é diferenciável em .
O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
(a)
(a)
Sejam
e
números reais
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja (a)