O fato de sumn=0^infty cn 4^n ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
(a) sumn=0^infty ce(-2)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a série sumn=0^infty cn cdot 4^n converge. Nosso objetivo é saber se isso implica que a série sumn=0^infty cn cdot (-2)^n também converge. A matéria aqui é sobre series e convergência, e vamos precisar usar o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergente. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos nunca “explode” para o infinito, ou seja, ela tem um valor finito.
No nosso caso, sabemos que sum cn 4^n converge. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento dos coeficientes cn.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para analisar a convergência da segunda série sum cn (-2)^n. O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa segunda série. Aqui, an = cn (-2)^n. Então,
an+1an = cn+1 (-2)^n+1cn (-2)^n = cn+1cn cdot (-2)
Tomando o valor absoluto:
| an+1an | = | cn+1cn | cdot 2

Passo 5

Sabemos que sum cn 4^n converge, então aplicando o Teste da Razão nessa série:
limn to infty | cn+1 4^n+1cn 4^n | = limn to infty | cn+1cn | cdot 4 < 1
Isso significa que limn to infty | cn+1cn | < 14.

Passo 6

Voltando ao limite da nossa segunda série:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | cn+1cn | cdot 2 < 14 cdot 2 = 12 < 1
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série sum cn (-2)^n converge.

Resposta

Sim, a série sumn=0^infty cn cdot (-2)^n é convergente.

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