O fato de ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a série converge. Nosso objetivo é saber se isso implica que a série também converge. A matéria aqui é sobre series e convergência, e vamos precisar usar o Teste da Razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergente. Uma série converge se a soma dos seus termos nunca “explode” para o infinito, ou seja, ela tem um valor finito.
No nosso caso, sabemos que converge. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento dos coeficientes .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para analisar a convergência da segunda série . O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa segunda série. Aqui, an = cn (-2)^n. Então,