Sejam p e q números reais com p < q. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja (a) (p, q)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja entre dois números reais p e q, onde . Isso entra na matéria de Séries de Potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de , onde c é o centro da série. A gente vai precisar entender como determinar o centro e o raio de convergência para construir a série certa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da série de potências. O centro c é o ponto médio do intervalo de convergência (p, q). Para achar isso, a gente calcula:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o raio de convergência R. O raio é metade da distância entre p e q. Então, calculamos:

Passo 4

Com o centro c e o raio R definidos, podemos escrever a forma geral da série de potências. A série vai ser centrada em c e ter um raio de convergência R, o que garante que ela convirja exatamente no intervalo (p, q). Uma série simples que atende a esses critérios é:

Resposta

A série de potências que tem intervalo de convergência (p, q) é:

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