Sejam
e
números reais
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja (a)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja entre dois números reais
e
, onde
. Isso entra na matéria de Séries de Potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
, onde
é o centro da série. A gente vai precisar entender como determinar o centro e o raio de convergência para construir a série certa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da série de potências. O centro
é o ponto médio do intervalo de convergência
. Para achar isso, a gente calcula:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o raio de convergência
. O raio é metade da distância entre
e
. Então, calculamos:
Passo 4
Com o centro
e o raio
definidos, podemos escrever a forma geral da série de potências. A série vai ser centrada em
e ter um raio de convergência
, o que garante que ela convirja exatamente no intervalo
. Uma série simples que atende a esses critérios é:
Resposta
A série de potências que tem intervalo de convergência
é: