Exercício 6. Justifique que a função
não possui uma transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para justificar que a função
não possui uma transformada de Laplace. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e analisar se a integral associada converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é definida pela seguinte integral:
Onde
é uma variável complexa. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função
.
Passo 3
Substituindo
na definição da Transformada de Laplace, temos:
Agora, precisamos analisar se essa integral converge para algum valor de
.
Passo 4
Vamos simplificar o expoente na função exponencial:
Podemos reescrever isso completando o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função
quando
tende ao infinito. Observamos que:
Isso significa que a função dentro da integral cresce sem limites conforme
aumenta.
Passo 6
Como a função
cresce exponencialmente para
tendendo ao infinito, a integral:
diverge, ou seja, não converge para um valor finito, independentemente do valor de
.
Resposta
Portanto, a função
não possui uma transformada de Laplace porque a integral que define a Transformada de Laplace diverge para todo valor de
, não existindo assim um valor finito para a Transformada.
Exercícios relacionados
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
©
©
Exercício 4. Utilizando que a transformada de Laplace
é linear, prove que a transformada inversa
também é um operador linear. Em outras palavras, justifique que é válida a igualdade:
, para quaisquer
constantes e
funções de
.
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(b)
(b)
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(e)
(e)