Exercício 6. Justifique que a função f(t) = e^(t^2) não possui uma transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para justificar que a função não possui uma transformada de Laplace. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e analisar se a integral associada converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida pela seguinte integral:
Onde é uma variável complexa. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função .

Passo 3

Substituindo na definição da Transformada de Laplace, temos:
Agora, precisamos analisar se essa integral converge para algum valor de .

Passo 4

Vamos simplificar o expoente na função exponencial:
Podemos reescrever isso completando o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito. Observamos que:
Isso significa que a função dentro da integral cresce sem limites conforme aumenta.

Passo 6

Como a função cresce exponencialmente para tendendo ao infinito, a integral:
diverge, ou seja, não converge para um valor finito, independentemente do valor de .

Resposta

Portanto, a função não possui uma transformada de Laplace porque a integral que define a Transformada de Laplace diverge para todo valor de , não existindo assim um valor finito para a Transformada.

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