Exercício 4. Utilizando que a transformada de Laplace é linear, prove que a transformada inversa também é um operador linear. Em outras palavras, justifique que é válida a igualdade: , para quaisquer constantes e funções de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a transformada inversa de Laplace, representada por , também é uma operação linear. Isso significa que, se a transformada de Laplace direta ( ) é linear, a inversa deve seguir a mesma propriedade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é linearidade em transformadas e aplicar isso para provar a igualdade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer funções e e constantes e , ela satisfaz:
No caso da transformada de Laplace direta , sabemos que ela é linear, ou seja:

Passo 3

Agora, queremos provar que a transformada inversa de Laplace também segue essa propriedade de linearidade. Ou seja, mostrar que:

Passo 4

Vamos usar a definição da transformada inversa. Se sabemos que e , então:

Passo 5

Considerando a combinação linear , aplicamos a transformada inversa:

Passo 6

Como a transformada inversa é única, podemos aplicar a linearidade que queremos provar. Se aceitarmos a propriedade linear, teríamos:

Passo 7

Sabemos que aplicar a transformada inversa após a direta retorna a função original:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, temos:

Passo 9

Portanto, concluímos que:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é um operador linear, ou seja:

Exercícios relacionados

Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
(f) (Sugestão: utilize a fórmula
trigonométrica
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
©
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
©
Exercício 6. Justifique que a função não possui uma transformada de Laplace.