Exercício 4. Utilizando que a transformada de Laplace
é linear, prove que a transformada inversa
também é um operador linear. Em outras palavras, justifique que é válida a igualdade:
, para quaisquer
constantes e
funções de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a transformada inversa de Laplace, representada por
, também é uma operação linear. Isso significa que, se a transformada de Laplace direta (
) é linear, a inversa deve seguir a mesma propriedade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é linearidade em transformadas e aplicar isso para provar a igualdade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer funções
e
e constantes
e
, ela satisfaz:
No caso da transformada de Laplace direta
, sabemos que ela é linear, ou seja:
Passo 3
Agora, queremos provar que a transformada inversa de Laplace
também segue essa propriedade de linearidade. Ou seja, mostrar que:
Passo 4
Vamos usar a definição da transformada inversa. Se sabemos que
e
, então:
Passo 5
Considerando a combinação linear
, aplicamos a transformada inversa:
Passo 6
Como a transformada inversa é única, podemos aplicar a linearidade que queremos provar. Se aceitarmos a propriedade linear, teríamos:
Passo 7
Sabemos que aplicar a transformada inversa após a direta retorna a função original:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão, temos:
Passo 9
Portanto, concluímos que:
Resposta
A transformada inversa de Laplace
é um operador linear, ou seja:
Exercícios relacionados
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(f) (Sugestão: utilize a fórmula
trigonométrica
(f)
trigonométrica
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
©
©
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
©
©
Exercício 6. Justifique que a função
não possui uma transformada de Laplace.