Exercício 4. Utilizando que a transformada de Laplace L é linear, prove que a transformada inversa L^{-1} também é um operador linear. Em outras palavras, justifique que é válida a igualdade: L^{-1}(a F(s) + b G(s)) = a L^{-1}(F(s)) + b L^{-1}(G(s)), para quaisquer a, b constantes e F, G funções de s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a transformada inversa de Laplace, representada por L^{-1}, também é uma operação linear. Isso significa que, se a transformada de Laplace direta ( L) é linear, a inversa deve seguir a mesma propriedade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é linearidade em transformadas e aplicar isso para provar a igualdade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer funções F(s) e G(s) e constantes a e b, ela satisfaz:
No caso da transformada de Laplace direta L, sabemos que ela é linear, ou seja:

Passo 3

Agora, queremos provar que a transformada inversa de Laplace L^{-1} também segue essa propriedade de linearidade. Ou seja, mostrar que:

Passo 4

Vamos usar a definição da transformada inversa. Se sabemos que e , então:

Passo 5

Considerando a combinação linear , aplicamos a transformada inversa:

Passo 6

Como a transformada inversa é única, podemos aplicar a linearidade que queremos provar. Se aceitarmos a propriedade linear, teríamos:

Passo 7

Sabemos que aplicar a transformada inversa após a direta retorna a função original:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, temos:

Passo 9

Portanto, concluímos que:

Resposta

A transformada inversa de Laplace L^{-1} é um operador linear, ou seja:

Exercícios relacionados