Exercício 4.3 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais - Uma Introdução - 9ạ Ed a) Calcule a fração dos sítios atômicos que estão vagos para o cobre (Cu) na sua temperatura de fusão de 1084^circ C (1367 K). Suponha uma energia para a formação de lacunas de 0,90 eV / átomo. b) Repita esse cálculo para a temperatura de 298 K .
N=NA rhoA NV=N exp (-QvK T)
Nv= número de vacâncias N= número total de sítios atômicos Qv= energia requerida para formação de vacâncias (J ou eV) K= constante de Boltzman =1,38 times 10^23 J / átomos.K ou 8,62 times 10^-5 eV / átomos.K

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a fração de sítios atômicos vazios no cobre (Cu) em duas temperaturas diferentes: a temperatura de fusão, que é 1084^circ C (ou 1367 K), e a temperatura ambiente, 298 K. A gente vai usar conceitos de defeitos cristalinos, especificamente vacâncias, que são basicamente “buracos” na estrutura cristalina onde deveria ter um átomo.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes informações e fórmulas:
  1. Número total de sítios atômicos ( N):
    N = NA rhoA
    Onde:
    • NA é o número de Avogadro ( 6,022 times 10^23 , átomos/molá).
    • rho é a densidade do cobre.
    • A é a massa atômica do cobre.
  2. Número de vacâncias ( NV):
    NV = N cdot exp(-Qvk cdot T)
    Onde:
    • Qv é a energia de formação das vacâncias (0,90 eV/átomo).
    • k é a constante de Boltzmann ( 8,62 times 10^-5 , eV/K).
    • T é a temperatura em Kelvin.
Vamos precisar da densidade e da massa atômica do cobre:
  • Densidade do cobre ( rho): aproximadamente 8,96 , g/cm^3.
  • Massa atômica do cobre ( A): cerca de 63,55 , g/mol.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de sítios atômicos ( N) no cobre usando a fórmula:
N = NA rhoA
Substituindo os valores conhecidos:
  • NA = 6,022 times 10^23 , átomos/molá
  • rho = 8,96 , g/cm^3
  • A = 63,55 , g/mol
Então,
N = 6,022 times 10^23 times 8,9663,55
Fazendo as contas:
N approx 6,022 times 10^23 times 8,9663,55 approx 5,402 times 10^2463,55 approx 8,502 times 10^22 , sítios atômicos íô

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de vacâncias ( NV) usando a segunda fórmula:
NV = N cdot exp(-Qvk cdot T)
Vamos fazer isso para as duas temperaturas: 1367 K e 298 K.
Primeiro, vamos calcular o fator exponencial para cada temperatura.
Para T = 1367 K:
Qvk cdot T = 0,90 , eV8,62 times 10^-5 , eV/K times 1367 , K approx 0,900,1177 approx 7,66
Então,
exp(-7,66) approx 0,00047
Portanto,
NV = 8,502 times 10^22 times 0,00047 approx 4,0 times 10^19 , vacâncias â
Para T = 298 K:
Qvk cdot T = 0,90 , eV8,62 times 10^-5 , eV/K times 298 , K approx 0,900,02568 approx 35,07
Então,
exp(-35,07) approx 3,3 times 10^-16
Portanto,
NV = 8,502 times 10^22 times 3,3 times 10^-16 approx 2,81 times 10^7 , vacâncias â

Passo 4

Agora, vamos calcular a fração de sítios vagos, que é basicamente a razão entre o número de vacâncias e o número total de sítios atômicos ( NVN).
Para T = 1367 K:
NVN = 4,0 times 10^198,502 times 10^22 approx 4,7 times 10^-4
Ou seja, aproximadamente 0,047% dos sítios estão vagos.
Para T = 298 K:
NVN = 2,81 times 10^78,502 times 10^22 approx 3,3 times 10^-16
Ou seja, praticamente nenhuma vacância é observável a essa temperatura.

Resposta

A fração dos sítios atômicos vazios para o cobre é aproximadamente 4,7 times 10^-4 (0,047%) na temperatura de fusão de 1367 K e 3,3 times 10^-16 na temperatura de 298 K.

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