No exercício 9 mostramos que
& beta=(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 1 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) e & beta^prime=(ll 1 & 0 1 & 0 ),(cc 0 & -1 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
são bases de U=(ccx & y z & t) in M2(R) ; x-y-z=0. Determine:
a) A matriz de mudança de base de beta para beta^prime e de beta^prime para beta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer! O enunciado nos dá duas bases, beta e beta', de um espaço vetorial U que consiste em matrizes 2 times 2 com a condição x - y - z = 0. Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base: uma que vá de beta para beta' e outra que vá de beta' para beta. Para isso, vamos precisar entender como representar os vetores (no caso, as matrizes) de uma base na outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base e o que significa mudar de uma base para outra. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Mudar de base significa expressar cada vetor de uma base em termos dos vetores de outra base.

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base de beta para beta', precisamos expressar cada vetor da base beta como uma combinação linear dos vetores da base beta'. Vamos chamar os vetores de beta de b1, b2, b3 e os de beta' de b'1, b'2, b'3.

Passo 4

Vamos começar expressando b1 em termos de beta'. Ou seja, queremos encontrar escalares c11, c21, c31 tais que:
b1 = c11 b'1 + c21 b'2 + c31 b'3
Fazendo isso para cada vetor de beta, vamos montar a matriz de mudança.

Passo 5

Vamos escrever as matrizes:
beta:
b1 = 1 & 1 0 & 0 , b2 = 1 & 0 1 & 0 , b3 = 0 & 0 0 & 1
beta':
b'1 = 1 & 0 1 & 0 , b'2 = 0 & -1 1 & 0 , b'3 = 0 & 0 0 & 1

Passo 6

Vamos expressar b1 em termos de beta':
1 & 1 0 & 0 = c11 1 & 0 1 & 0 + c21 0 & -1 1 & 0 + c31 0 & 0 0 & 1
Isso nos dá o sistema de equações:
1 = c11 cdot 1 + c21 cdot 0 + c31 cdot 0 1 = c11 cdot 0 + c21 cdot (-1) + c31 cdot 0 0 = c11 cdot 1 + c21 cdot 1 + c31 cdot 0 0 = c11 cdot 0 + c21 cdot 0 + c31 cdot 1
Resolvendo:
  • Da primeira equação: c11 = 1
  • Da segunda equação: -c21 = 1 então c21 = -1
  • Da terceira equação: 1 + (-1) + 0 = 0 (já satisfaz)
  • Da quarta equação: c31 = 0
Então, b1 = 1 cdot b'1 -1 cdot b'2 + 0 cdot b'3

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para b2:
1 & 0 1 & 0 = c12 1 & 0 1 & 0 + c22 0 & -1 1 & 0 + c32 0 & 0 0 & 1
Sistema de equações:
1 = c12 cdot 1 + c22 cdot 0 + c32 cdot 0 0 = c12 cdot 0 + c22 cdot (-1) + c32 cdot 0 1 = c12 cdot 1 + c22 cdot 1 + c32 cdot 0 0 = c12 cdot 0 + c22 cdot 0 + c32 cdot 1
Resolvendo:
  • Da primeira equação: c12 = 1
  • Da segunda equação: -c22 = 0 então c22 = 0
  • Da terceira equação: 1 + 0 + 0 = 1 (já satisfaz)
  • Da quarta equação: c32 = 0
Então, b2 = 1 cdot b'1 + 0 cdot b'2 + 0 cdot b'3

Passo 8

Agora, para b3:
0 & 0 0 & 1 = c13 1 & 0 1 & 0 + c23 0 & -1 1 & 0 + c33 0 & 0 0 & 1
Sistema de equações:
0 = c13 cdot 1 + c23 cdot 0 + c33 cdot 0 0 = c13 cdot 0 + c23 cdot (-1) + c33 cdot 0 0 = c13 cdot 1 + c23 cdot 1 + c33 cdot 0 1 = c13 cdot 0 + c23 cdot 0 + c33 cdot 1
Resolvendo:
  • Da primeira equação: c13 = 0
  • Da segunda equação: -c23 = 0 então c23 = 0
  • Da terceira equação: 0 + 0 + 0 = 0 (já satisfaz)
  • Da quarta equação: c33 = 1
Então, b3 = 0 cdot b'1 + 0 cdot b'2 + 1 cdot b'3

Passo 9

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de beta na base beta', podemos montar a matriz de mudança de base de beta para beta', chamada Pbeta to beta'. Cada coluna dessa matriz será as coordenadas que encontramos:
Pbeta to beta' = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 10

Para encontrar a matriz de mudança de base de beta' para beta, Pbeta' to beta, podemos usar o fato de que ela é a inversa de Pbeta to beta'. Então, vamos calcular a inversa da matriz que encontramos:
Pbeta' to beta = (Pbeta to beta')^-1 = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ^-1
Calculando a inversa:
Primeiro, observamos que a matriz é triangular superior, então a inversa será fácil de encontrar.
A inversa de uma matriz 3 times 3 pode ser encontrada usando métodos como a matriz adjunta ou decomposição. Neste caso, simplificamos:
Ao calcular, obtemos:
Pbeta' to beta = 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz de mudança de base de beta para beta^prime é
Pbeta to beta' = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
e a matriz de mudança de base de beta^prime para beta é
Pbeta' to beta = 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes A=(cc1+a & b 2 c & 2+d) e B=(cc3 & -1 2 & 4), calcule a, b, c e d para que A=B^t.
Obtenha a matriz transposta de
(a) A=(ai j)3 times 2 com ai j=i^2-j^2.
Sabendo que a matriz M=(ccc1+x & b & c -1 & 2-y & a 0 & 2 & 3 z) é uma matriz anti-simétrica, calcule o valor da expressão (x+y+z)(a+b+c).
Determine x e y tais que (clog 2 x |y| x^2)=(c3 5 64).