são bases de . Determine:
a) A matriz de mudança de base de para e de para .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer! O enunciado nos dá duas bases, e , de um espaço vetorial que consiste em matrizes com a condição . Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base: uma que vá de para e outra que vá de para . Para isso, vamos precisar entender como representar os vetores (no caso, as matrizes) de uma base na outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base e o que significa mudar de uma base para outra. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Mudar de base significa expressar cada vetor de uma base em termos dos vetores de outra base.
Passo 3
Para encontrar a matriz de mudança de base de para , precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Vamos chamar os vetores de de , , e os de de , , .
Passo 4
Vamos começar expressando em termos de . Ou seja, queremos encontrar escalares , , tais que:
Fazendo isso para cada vetor de , vamos montar a matriz de mudança.
Agora que temos as coordenadas de cada vetor de beta na base beta', podemos montar a matriz de mudança de base de beta para beta', chamada Pbeta to beta'. Cada coluna dessa matriz será as coordenadas que encontramos:
Pbeta to beta' = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Passo 10
Para encontrar a matriz de mudança de base de beta' para beta, Pbeta' to beta, podemos usar o fato de que ela é a inversa de Pbeta to beta'. Então, vamos calcular a inversa da matriz que encontramos: