Sabendo que a matriz M=(ccc1+x & b & c -1 & 2-y & a 0 & 2 & 3 z) é uma matriz anti-simétrica, calcule o valor da expressão (x+y+z)(a+b+c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que é anti-simétrica, e precisamos encontrar o valor da expressão . Para isso, vamos usar o conceito de matrizes anti-simétricas, que tem algumas propriedades legais que vamos explorar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se ela satisfaz , onde é a matriz transposta de . Isso quer dizer que, ao trocar as linhas pelas colunas e mudar o sinal de todos os elementos, a matriz deve ser igual à original.

Passo 3

Vamos escrever a matriz M = 1 + x & b & c -1 & 2 - y & a 0 & 2 & 3z que a gente tem:
M^T = 1 + x & -1 & 0 b & 2 - y & 2 c & a & 3z
E a transposta dela será:

Passo 4

Como 1 + x & -1 & 0 b & 2 - y & 2 c & a & 3z = -(1 + x) & -b & -c 1 & -(2 - y) & -a 0 & -2 & -3z é anti-simétrica, temos que . Vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:

[


]

Passo 5

Agora, vamos comparar cada posição para encontrar as equações:
  1. Elemento (1,1):
    1 + x = -(1 + x) implies 2(1 + x) = 0 implies x = -1
  2. Elemento (1,2):
    -1 = -b implies b = 1
  3. Elemento (1,3):
    0 = -c implies c = 0
  4. Elemento (2,2):
    2 - y = -(2 - y) implies 2(2 - y) = 0 implies y = 2
  5. Elemento (2,3):
    2 = -a implies a = -2
  6. Elemento (3,3):
    3z = -3z implies 6z = 0 implies z = 0

Passo 6

Agora que encontramos todos os valores:
x = -1, y = 2, z = 0, a = -2, b = 1, c = 0
Vamos calcular x + y + z = (-1) + 2 + 0 = 1 e a + b + c = (-2) + 1 + 0 = -1 :

Resposta

(x + y + z)(a + b + c) = 1 times (-1) = -1

Exercícios relacionados

No exercício 9 mostramos que
& beta=(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 1 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) e & beta^prime=(ll 1 & 0 1 & 0 ),(cc 0 & -1 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
são bases de U=(ccx & y z & t) in M2(R) ; x-y-z=0. Determine:
a) A matriz de mudança de base de beta para beta^prime e de beta^prime para beta.
Dadas as matrizes A=(cc1+a & b 2 c & 2+d) e B=(cc3 & -1 2 & 4), calcule a, b, c e d para que A=B^t.
Determine x e y tais que (clog 2 x |y| x^2)=(c3 5 64).
Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular (A B) C.