Sabendo que a matriz é uma matriz anti-simétrica, calcule o valor da expressão (x+y+z)(a+b+c).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que é anti-simétrica, e precisamos encontrar o valor da expressão . Para isso, vamos usar o conceito de matrizes anti-simétricas, que tem algumas propriedades legais que vamos explorar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se ela satisfaz , onde é a matriz transposta de . Isso quer dizer que, ao trocar as linhas pelas colunas e mudar o sinal de todos os elementos, a matriz deve ser igual à original.
Passo 3
Vamos escrever a matriz M = 1 + x & b & c -1 & 2 - y & a 0 & 2 & 3z que a gente tem:
M^T = 1 + x & -1 & 0 b & 2 - y & 2 c & a & 3z
E a transposta dela será:
Passo 4
Como 1 + x & -1 & 0 b & 2 - y & 2 c & a & 3z = -(1 + x) & -b & -c 1 & -(2 - y) & -a 0 & -2 & -3z é anti-simétrica, temos que . Vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
[
]
Passo 5
Agora, vamos comparar cada posição para encontrar as equações:
Elemento (1,1):
1 + x = -(1 + x) implies 2(1 + x) = 0 implies x = -1
Elemento (1,2):
-1 = -b implies b = 1
Elemento (1,3):
0 = -c implies c = 0
Elemento (2,2):
2 - y = -(2 - y) implies 2(2 - y) = 0 implies y = 2
Elemento (2,3):
2 = -a implies a = -2
Elemento (3,3):
3z = -3z implies 6z = 0 implies z = 0
Passo 6
Agora que encontramos todos os valores:
x = -1, y = 2, z = 0, a = -2, b = 1, c = 0
Vamos calcular x + y + z = (-1) + 2 + 0 = 1 e a + b + c = (-2) + 1 + 0 = -1 :