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Exercício 1 (2,5 pontos) Considere o sólido compreendido entre o paraboloide e o plano . Calcule a integral tripla de sobre .
Sugestão: escreva na forma e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla sobre um sólido que está entre o paraboloide e o plano . O que vamos usar aqui são conceitos de cálculo integral múltiplo, especificamente integral tripla. A gente precisa determinar os limites de integração para , e e então integrar a função sobre esse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O paraboloide define a parte inferior do sólido, e o plano é a parte superior. Para descrever na forma sugerida, precisamos encontrar os limites para e que satisfazem .

Passo 3

Vamos simplificar a desigualdade :
Essa é a equação de uma elipse no plano . Podemos usar coordenadas elípticas ou mudar para coordenadas polares com ajustes, mas aqui vamos manter nas coordenadas cartesianas para simplificar.

Passo 4

Vamos determinar os limites de e . Da desigualdade , podemos expressar em função de :
E para :

Passo 5

Agora que temos os limites para e , podemos escrever os limites para . Como varia do paraboloide ao plano, temos:
Então, a integral tripla fica:

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a . A função é constante em relação a , então a integral fica:
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variáveis. Observamos que pode ser simplificado com a substituição:
Com essa substituição, a região de integração se torna um círculo de raio no plano , e a função a integrar simplifica. No entanto, para manter a simplicidade, vamos continuar nas coordenadas e .

Passo 8

Observamos que a função e os limites são simétricos em relação a e , então podemos considerar apenas o primeiro quadrante e multiplicar por 4:
Isso simplifica os cálculos, pois trabalhamos apenas com valores positivos.

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição , mas a presença de sugere métodos de integração por partes ou substituições trigonométricas, o que torna a integral complexa. No entanto, percebemos que a expressão pode ser integrada numericamente ou simplificada com mais substituições.

Passo 10

Após integrar em e depois em , obteríamos o valor final da integral tripla. Devido à complexidade das integrais, é recomendável utilizar ferramentas computacionais ou técnicas avançadas de integração para encontrar o resultado exato.

Resposta

A integral tripla sobre o sólido não possui uma solução elementar simples e, portanto, deve ser resolvida utilizando métodos numéricos ou software de cálculo simbólico para obter o valor final.

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