Exercício 2 (2,5 pontos) Considere B o sólido descrito por x^2 + 3y^2 <= 4 e 0 <= z <= x - y. Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = x sobre B.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo de integral tripla. A gente precisa encontrar a integral da função sobre o sólido , que é definido pelas condições e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrais múltiplas e entender bem os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição descreve uma elipse no plano . Para facilitar, podemos reescrever essa desigualdade como . Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 2 em e em .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para em função de . Da elipse , isolamos :
Então, para cada , varia de a .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites para . Observando a equação da elipse, para , temos , então varia de a .

Passo 5

Com os limites de e definidos, e sabendo que varia de a , podemos montar a integral tripla:

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a . Primeiro, distribuímos :
Integramos cada termo separadamente:
O primeiro termo é multiplicado pelo intervalo de , e o segundo termo, por simetria, será zero porque a função é ímpar em relação aos limites simétricos.
Então, temos:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , simplificamos a integral e resolvemos, chegando ao valor final após calcular a integral definida.

Resposta

A integral tripla de sobre o sólido é igual a .

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