Exercício 2 (2,5 pontos) Considere
o sólido descrito por
e
. Calcule a integral tripla de
sobre
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo de integral tripla. A gente precisa encontrar a integral da função
sobre o sólido
, que é definido pelas condições
e
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrais múltiplas e entender bem os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
descreve uma elipse no plano
. Para facilitar, podemos reescrever essa desigualdade como
. Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 2 em
e
em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
em função de
. Da elipse
, isolamos
:
Então, para cada
,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites para
. Observando a equação da elipse, para
, temos
, então
varia de
a
.
Passo 5
Com os limites de
e
definidos, e sabendo que
varia de
a
, podemos montar a integral tripla:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
. Primeiro, distribuímos
:
Integramos cada termo separadamente:
O primeiro termo é
multiplicado pelo intervalo de
, e o segundo termo, por simetria, será zero porque a função
é ímpar em relação aos limites simétricos.
Então, temos:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
, simplificamos a integral e resolvemos, chegando ao valor final após calcular a integral definida.
Resposta
A integral tripla de
sobre o sólido
é igual a
.